Problema 16 gara a squadre femminile Cesenatico 2023

[RobStam]

Buongiorno, riporto il problema numero 16 della gara a squadre femminile svoltasi a Cesenatico nel mese di maggio:
"Oramai le tre bambine sono entrate nel cuore di Gru, che le segue e le accudisce come un padre. Questo non piace al dottor Nefarius che vuole riportare Gru alla ragione. Nefarius prende un dado regolare a 4 facce e lo lancia 7 volte.
Al settimo lancio si accorge di aver visto almeno una volta tutte le facce e decide di telefonare all’orfanotrofio per
denunciare Gru e costringerlo a restituire le bambine. Qual è la probabilità che al sesto lancio Nefarius non avesse ancora visto una delle facce? Dai come risposta la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini."

L'ho risolto così:
-ho considerato tutti i casi in cui Neferius non ha visto una delle facce entro il settimo lancio (e comunque ne ha viste almeno 3 dato che al settimo è sicuro di averle viste tutte).
Riporto il caso in cui non ha visto la faccia 1, lo stesso accade per le altre facce.
234222 (considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 30 casi)
234223 (considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234224(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234333(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 30 casi)
234332(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234334(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234444(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 30 casi)
234442(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234443(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234234(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 90 casi)
In totale, in 540 lanci non ha visto la faccia 1.
Quindi, i casi favorevoli al fatto che Neferius non abbia visto una delle facce al 6° lancio a me risultano 540 x 4 = 2160.

-Ho poi conteggiato i casi possibili, aggiungendo ai casi sopra calcolati quelli nei quali Neferius ha già visto tutte le facce entro il sesto lancio.
123411 (considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 120 casi)
123412(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123413(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123414(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123422(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 120 casi)
123423(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123424(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123433(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 120 casi)
123434(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123444(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 120 casi)
Totale casi da aggiungere: 180 x 6 + 120 x 4 = 1560

Casi possibili = 2160 + 1560 = 3720

la probabilità che al sesto lancio Nefarius non avesse ancora visto una delle facce a me risulta:
2160/3720 = 18/31 (49 somma di numeratore e denominatore).

La risposta al quesito risulta però 44.

Ringrazio in anticipo coloro i quali vorranno cimentarsi nella risoluzione del problema.
Cordiali saluti.

[Quinzio]

Buongiorno, riporto il problema numero 16 della gara a squadre femminile svoltasi a Cesenatico nel mese di maggio:
"Oramai le tre bambine sono entrate nel cuore di Gru, che le segue e le accudisce come un padre. Questo non piace al dottor Nefarius che vuole riportare Gru alla ragione. Nefarius prende un dado regolare a 4 facce e lo lancia 7 volte.
Al settimo lancio si accorge di aver visto almeno una volta tutte le facce e decide di telefonare all’orfanotrofio per
denunciare Gru e costringerlo a restituire le bambine. Qual è la probabilità che al sesto lancio Nefarius non avesse ancora visto una delle facce? Dai come risposta la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini."

L'ho risolto così:
-ho considerato tutti i casi in cui Neferius non ha visto una delle facce entro il settimo lancio (e comunque ne ha viste almeno 3 dato che al settimo è sicuro di averle viste tutte).
Riporto il caso in cui non ha visto la faccia 1, lo stesso accade per le altre facce.
234222 (considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 30 casi)
234223 (considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234224(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234333(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 30 casi)
234332(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234334(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234444(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 30 casi)
234442(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234443(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 60 casi)
234234(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 90 casi)
In totale, in 540 lanci non ha visto la faccia 1.
Quindi, i casi favorevoli al fatto che Neferius non abbia visto una delle facce al 6° lancio a me risultano 540 x 4 = 2160.

-Ho poi conteggiato i casi possibili, aggiungendo ai casi sopra calcolati quelli nei quali Neferius ha già visto tutte le facce entro il sesto lancio.
123411 (considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 120 casi)
123412(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123413(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123414(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123422(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 120 casi)
123423(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123424(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123433(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 120 casi)
123434(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 180 casi)
123444(considerando le permutazioni con ripetizione, risultano 120 casi)
Totale casi da aggiungere: 180 x 6 + 120 x 4 = 1560

Anche qui devi moltiplicare i casi possibili per 4. La settima cifra puo' essere 1, 2, 3, o 4.

Totale casi da aggiungere: (180 x 6 + 120 x 4) x 4 = 1560 x 4

Probabilita':

$(540*4)/(540*4+1560*4) = 540/(540+1560) = 540/ 2100 = 9/35$

Casi possibili = 2160 + 1560 = 3720

la probabilità che al sesto lancio Nefarius non avesse ancora visto una delle facce a me risulta:
2160/3720 = 18/31 (49 somma di numeratore e denominatore).

La risposta al quesito risulta però 44.

Ringrazio in anticipo coloro i quali vorranno cimentarsi nella risoluzione del problema.
Cordiali saluti.