Viva l'ortocentro!

[Luca P.]

Ho un paio di problemi di Geometria che sfruttano idee interessanti. Scritti da me, il secondo pesantemente ispirato da un quesito che forse già conoscerete. Spero non risultino eccessivamente semplici alla risoluzione.

Problema 1. Sia $ABC$ un triangolo in cui $BC>CA$. Per il simmetrico $S$ dell'ortocentro di $ABC$ rispetto al lato $AB$ condurre le distanze $SX$ e $SY$ dalle rette $BC$ e $CA$ rispettivamente. Sia $P$ il punto d'intersezione del lato $AB$ con il segmento $SX$.

Dimostrare che gli angoli $\angle PCX$ e $\angle ASY$ sono congruenti.

Problema 2. Sia $P$ un punto interno a un triangolo acutangolo $ABC$. Definiamo i punti $A_1$ e $A_2$ come i due punti d'intersezione del lato $BC$ con la circonferenza passante per $P$ e centrata nel suo punto medio. Siano definiti analogamente i punti $B_1$ e $B_2$ e i punti $C_1$ e $C_2$.

Dimostrare che i punti $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1$ e $C_2$ giacciono su una medesima circonferenza se e solo se $P$ è l'ortocentro del triangolo $ABC$.

[Quinzio]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Problema 1

E' noto che in un triangolo i 3 cerchi che sono individuati ciascuno da 2 vertici e dall'ortocentro hanno lo stesso diametro.
(Diametro che e' anche uguale a quello del circocentro).

I due cerchi $CDA$ e $CDB$ hanno quindi lo stesso diametro e sono simmetrici rispetto alla retta $CD$, passando entrambi per $C$ e per $D$.
La retta $AB$ che e' perpendicolare a $CD$ interseca i cerchi nei due punti $A$ e $P$ che quindi sono simmetrici rispetto a $CD$.
Ne segue che ribaltando $A$ rispetto alla retta $CD$, lo stesso $A$ coincide con $P$.
Inoltre ribaltando $S$ rispetto alla retta $AB$, $S$ va a coincidere con $D$, per come e' stata costruita la figura.
Quindi ribaltando la retta $SY$ rispetto alla retta $AB$, $SY$ coincide con la retta $BD$, siccome le rette $SY$ e $BD$ sono perpendicolari entrambe alla retta $CA$ per costruzione e i punti $S$ e $D$ vanno a coincidere.

A questo punto gli angoli $\hat {ASY}$ e $\hat{PDB}$ sono coincidenti, sono uguali.
Si noti inoltre che banalmente $\hat {PCX}=\hat{PCB}$.

Il problema e' quindi analogo a dimostrare che $\hat{PDB} = \hat{PCB}$

Quest'ultima relazione e' vera siccome sia $\hat{PDB}$ che $\hat{PCB}$ hanno il vertice sullo stesso cerchio $CDB$ e sottendono la stessa corda $PB$.
Questo li rende uguali in virtu' del teorema degli angoli al centro e alla circonferenza.

https://www.geogebra.org/calculator/xp6je8tc

[Luca P.]

Piuttosto diversa dalla mia dimostrazione, ma funziona!