$14=15$

[axpgn]

Nel 1952 a Breslavia, durante un meeting dei partecipanti alle Olimpiadi di Matematica, il Dr. J. Mikusiński dimostrò una divisione del piano in ettagoni tale che ad ogni vertice si incontravano tre ettagoni.
Da ciò noi possiamo dedurre che $14=15$.

Chiamiamo $P$ l'angolo piatto.
La somma degli angoli in un ettagono è $5P$, quindi la dimensione media di un angolo di un ettagono è $5/7P$.
Dato che l'intero piano si può ricoprire con ettagoni, ne consegue che l'angolo medio in questo mosaico è $5/7P$.
Ma ad ogni vertice si incontrano tre angoli quindi la misura media di un angolo ad ogni vertice è $2/3P$.
Da questo ne consegue che la misura media di un angolo del mosaico è $2/3P$, dato che ogni angolo appartiene ad un vertice.
Perciò $2/3P=5/7P\ ->\ 2/3=5/7\ ->\ 14=15$.
CVD

Dove sta l'errore nell'argomentazione?


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Nessuno?

[Quinzio]

Nessuno?

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La prima cosa che mi viene in mente e' che non e' possibile tassellare il piano con degli ettagoni.
Si puo' con i triangoli, i quadrati, gli esagoni.

Se si disegna un ettagono sul piano, e poi si disegnano altri 7 ettagoni che lo circondano, e poi si cerca di disegnare altri ettagoni sempre circondando il gruppo di quelli gia' disegnati, presto ci si accorge che qualcosa non va.
Se si continuano a disegnare ettagoni, alcuni devono diventare degeneri, ad esempio molto allungati e stretti, con qualche angolo interno che tende a zero.

[axpgn]

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Si può, si può, vedi questo per esempio




Comunque il punto non è quello, il quesito dà per assodato la tassellazione del piano in ettagoni come dimostrato dal Dr. J. Mikusiński.
La fallacia è da trovare nell'argomentazione successiva la quale porta a dimostrare che $14=15$.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Ok, non l'ho scritto pero' intendevo una tassellatura con tre lati che si incontrano in ogni vertice.
Esiste una tassellatura del genere ?
Poi onestamente sono andato a memoria. Forse quello che ho letto si riferiva comunque a poligoni convessi.

[axpgn]

Non lo so ma come ho detto non è quello il punto.