Girare in tondo

[axpgn]

Due cerchi di raggi $r$ e $R$ si intersecano in due punti.
Due particelle partono nello stesso istante da uno dei punti di intersezione e percorrono, in senso antiorario e a velocità costante, ognuna il rispettivo cerchio, compiendo una rivoluzione nello stesso tempo e ritrovandosi quindi nello stesso istante nel punto in cui sono partite.

Qual è il luogo dei punti del punto medio del segmento che unisce le due particelle?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Ci sono ancora... !

Risposta:

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Un cerchio

[Quinzio]

Aggiungo la dimostrazione:

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In realta' questa proprieta' non e' limitata solo a due cerchi nelle condizioni del problema, ma vale per tutte le coppie di cerchi sul piano.
Si prendono due cerchi concentrici, e si tracciano due raggi $OA$ e $OB$ (uno su ogni cerchio).
Con la rotazione dei raggi (nello stesso verso e con lo stesso angolo) anche il segmento $AB$ ruota attorno al centro comune.
E ovvio che il punto medio di $AB$ descrive un terzo cerchio.
Se ora si trasla uno dei due cerchi, l'insieme dei punti medi subisce anch'esso una traslazione (la meta' della nuova distanza dei due centri).
Quindi anche il terzo cerchio viene semplicemente traslato, rimanendo un cerchio.
Il problema evidenzia solo un caso particolare in cui i due cerchi si intersecano e i due raggi, a un certo punto della rotazione, condividono un estremo.

[axpgn]

Bentornato!

Questo

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Un cerchio

non è sufficiente.

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... Se ora si trasla uno dei due cerchi, l'insieme dei punti medi subisce anch'esso una traslazione (la meta' della nuova distanza dei due centri).
Quindi anche il terzo cerchio viene semplicemente traslato, rimanendo un cerchio.

L'idea è interessante ma ... nel caso che porti ad esempio, $AB$ è fisso, la loro posizione relativa è fissa, è chiaro che anche il punto medio descriva un cerchio.
Ma quando trasli un cerchio, $AB$ è variabile e come fai ad essere sicuro che il punto medio descriva ancora un cerchio invece, che ne so, un'ellisse?

[Quinzio]

...

[axpgn]

Due cose:

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- come ho detto la risposta "un cerchio" non è sufficiente; quale cerchio? dov'è questo cerchio? ecc.

- non capisco i conti, mi sembra un miscuglio di misure, punti e vettori, non mi ci raccapezzo

[Quinzio]

Ho cambiato solo due dettagli.

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Ma quando trasli un cerchio, $AB$ è variabile e come fai ad essere sicuro che il punto medio descriva ancora un cerchio invece, che ne so, un'ellisse?

[Quinzio]

Due cose:

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- come ho detto la risposta "un cerchio" non è sufficiente; quale cerchio? dov'è questo cerchio? ecc.

- non capisco i conti, mi sembra un miscuglio di misure, punti e vettori, non mi ci raccapezzo

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La domanda era "quale e' il luogo dei punti ... ". La risposta e' " un cerchio".
Comunque il centro del cerchio medio e' il punto medio dei due centri originali.
Il suo raggio e' la media dei raggi.

Ho fatto anche un'animazione.
https://www.geogebra.org/calculator/trwjxtmn
Piu' di cosi' non saprei cosa fare.

[axpgn]

La domanda era "quale e' il luogo dei punti ... ".

Appunto. "Qual è" non "Quale figura è"

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Comunque il centro del cerchio medio e' il punto medio dei due centri originali.

Sì

Il suo raggio e' la media dei raggi.

No



Purtroppo continuo a non capire i calcoli che fai, peraltro se ti portano a concludere che quello è il raggio c'è qualcosa che non va ...

[sellacollesella]

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Fissato un sistema di riferimento cartesiano \(Oxy\) tale che le circonferenze siano: \[
\gamma_1(t) = \left(R\cos\left(\omega\,t+\varphi_1\right),\,R\sin\left(\omega\,t+\varphi_1\right)\right), \quad \quad
\gamma_2(t) = \left(x_c+r\cos\left(\omega\,t+\varphi_2\right),\,r\sin\left(\omega\,t+\varphi_2\right)\right)
\] con \(0 < r <R\), \(R-r < x_c < R+r\) e \(\omega > 0\) fissati, \(0 \le t \le 2\pi/\omega\) variabile, si ha: \[
\gamma_1(0) = \gamma_2(0)
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
\varphi_1 = \text{atan2}\left(\pm\sqrt{2r^2\left(R^2+x_c^2\right)-\left(R^2-x_c^2\right)^2-r^4},\,R^2-r^2+x_c^2\right) \\
\varphi_2 = \text{atan2}\left(\pm\sqrt{2r^2\left(R^2+x_c^2\right)-\left(R^2-x_c^2\right)^2-r^4},\,R^2-r^2-x_c^2\right) \\
\end{cases}
\] dove la scelta del segno \(+\) o \(-\) implica partire dal punto d'intersezione superiore o inferiore.

Pertanto, applicando la definizione di punto medio, si ha: \[
\gamma_m(t) := \frac{\gamma_1(t)+\gamma_2(t)}{2}
\] dove, sviluppando i calcoli, si perviene a: \[
\gamma_m(t) = \left(\frac{x_c}{2}+\frac{R^2-r^2}{2x_c}\,\cos(\omega\,t)\mp\frac{\sqrt{2r^2\left(R^2+x_c^2\right)-\left(R^2-x_c^2\right)^2-r^4}}{2x_c}\,\sin(\omega\,t), \\ \pm\frac{\sqrt{2r^2\left(R^2+x_c^2\right)-\left(R^2-x_c^2\right)^2-r^4}}{2x_c}\,\cos(\omega\,t)+\frac{R^2-r^2}{2x_c}\,\sin(\omega\,t)\right)
\] ossia, in modo più significativo: \[
\boxed{\gamma_m(t) = \left({\color{red}{\frac{x_c}{2}}}+{\color{green}{r_m}}\cos\left(\omega\,t+{\color{blue}{\varphi_m}}\right),\,{\color{red}{0}}+{\color{green}{r_m}}\sin\left(\omega\,t+{\color{blue}{\varphi_m}}\right)\right)}
\] con: \[
{\color{green}{r_m}} := \frac{\sqrt{2\left(R^2+r^2\right)-x_c^2}}{2},
\quad \quad
{\color{blue}{\varphi_m}} := \pm\arctan\left(\frac{\sqrt{2r^2\left(R^2+x_c^2\right)-\left(R^2-x_c^2\right)^2-r^4}}{R^2-r^2}\right)
\] che è il luogo geometrico richiesto.