In barca

[axpgn]

Un battello scende lungo un fiume; sia alla partenza sia ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Sapendo che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è $380$, si determini il numero delle stazioni.


Cordialmente, Alex

[sellacollesella]

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Se le stazioni sono \(n\), allora alla stazione \(m\)-esima: \[
\begin{aligned}
\text{persone presenti}
& = \text{persone salite} - \text{persone scese} \\
& = \sum_{k=1}^m (n-k) - \sum_{k=1}^{m-1} k \\
& = m\,n - \frac{m\,(m+1)}{2} - \frac{m\,(m-1)}{2} \\
& = m\,(n-m).
\end{aligned}
\] Pertanto, trattandosi del prodotto di due numeri a somma costante, risulta massimo:

• se \(n\) è pari, allora \(m = \frac{n}{2}\), da cui \(m(n-m)=\frac{n^2}{4}=380 \; \Rightarrow \; \text{impossibile}\);
  
  
• se \(n\) è dispari, allora \(m = \frac{n+1}{2}\), da cui \(m(n-m)=\frac{n^2-1}{4}=380 \; \Rightarrow \; {\color{red}{n=39}}\).

[axpgn]

Perfetto!