Trigonometria

[axpgn]

Dimostrare:

$cos(pi/7)-cos((2pi)/7)+cos((3pi)/7)=1/2$

Cordialmente, Alex

[giammaria]

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Lemma
Se $n$ è un numero naturale maggiore di 1, allora
$sum_(k=0)^(n-1) cos(alpha+k(2pi)/n)=0$
E' una proprietà abbastanza nota e può essere dimostrata in modi diversi; il più rapido mi sembra il ricorso alla simmetria.
Gli angoli in questione dividono il cerchio goniometrico in $n$ parti uguali, quindi per simmetria vale zero la somma dei vettori che vanno dal centro ai punti di suddivisione. Vale perciò zero anche la somma delle loro proiezioni sull'asse x, cioè la somma in esame.

Questo problema
Indicando con $A$ la nostra somma algebrica, abbiamo
$A=cos frac pi 7-cos (pi-(5 pi)/7)+cos frac (3pi) 7=cos frac(pi) 7+cos frac(5pi) 7+cos frac(3pi) 7$
Con $n=7;alpha=pi/7$, il lemma dà
$cos frac (pi) 7+cos frac (3pi) 7+cos frac (5pi) 7+cos frac (7pi) 7+cos frac (9pi) 7+cos frac (11pi) 7+cos frac (13pi) 7=0$
La somma dei primi tre è $A$ ed il quarto vale $cos pi=-1$. Per gli altri notiamo che
$cos frac (9pi) 7=cos(2pi-(5pi)/7)=cos frac (5pi) 7$
e simili; quindi anche la somma degli ultimi tre è $A$. Perciò
$A-1+A=0->A=1/2$

[axpgn]

Perfetto!

[sellacollesella]

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Posto \(x = e^{i\frac{\pi}{7}}\), si ha: \[
x^7 = -1
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
\left(x+1\right)\left(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\right) = 0
\] da cui, necessariamente: \[
x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 = 0
\] ossia: \[
x^3\left(x^3-x^2+x\right) - \left(x^3-x^2+x\right) + 1 = 0
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
x-x^2+x^3 = \frac{1}{1-x^3}\,.
\] Pertanto, ne consegue che: \[
x-x^2+x^3 = \frac{1}{1-\cos(3\pi/7)-i\sin(3\pi/7)} = \frac{1-\cos(3\pi/7)+i\sin(3\pi/7)}{2-2\cos(3\pi/7)}
\] ossia quanto volevasi dimostrare: \[
\Re\left(x-x^2+x^3\right) = \frac{1-\cos(3\pi/7)}{2-2\cos(3\pi/7)} = \frac{1}{2}\,.
\]

[axpgn]

Bella!