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Sia $f$ la funzione ausiliaria $f(\theta)=\cos^p(\theta)-\cos(p\theta)$, con $p\in (0,1),\theta\in[0,\pi/2]$. Provare l'asserto equivale a dimostrare che $f$ è una funzione non positiva. Invocando Santo Wolfram, si ricava che l'espressione della derivata prima di $f$ (rispetto a $\theta$) è $$f'(\theta)=-p\cos^{p-1}(\theta)\sin(\theta)+p\sin(p\theta)=$$ $$=p\sin(\theta)\left(\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}-\cos^{p-1}(\theta)\right)$$dove $\theta\in(0,\pi/2)$. Osserviamo a questo punto che siccome $\theta\in (0,\pi/2)$ e $p\in (0,1)$, allora valgono le seguenti relazioni:
1. $0<p<1\implies 0<p\theta<\theta<\pi/2$
2. Siccome la funzione seno è notoriamente crescente nell'intervallo $(0,\pi/2)$, si ha che $0<\sin(p\theta)<\sin(\theta)<1$, di conseguenza $0<\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}<1$
3. Dato che $0<p<1$, allora $p-1<0$, inoltre $0<\cos(\theta)<1$ per ogni $\theta\in (0,\pi/2)$, pertanto sussiste la seguente relazione $1<\cos^{p-1}(\theta)$, per ogni $\theta\in (0,\pi/2)$.
I punti 2. e 3. garantiscono la negatività dell'espressione $\frac{\sin(p\theta)}{\sin(\theta)}-\cos^{p-1}(\theta)$ e permettono di concludere che $f'(\theta)<0$ per ogni $\theta in (0,\pi/2)$. Di fatto la funzione $f$ è strettamente decrescente in $[0,pi/2]$ e ha massimo in $\theta=0$, pertanto, per ogni $\theta\in [0,pi/2]$, si ha che: $$f(\theta)\le f(0)=0\implies \cos^p(\theta)\le\cos(p\theta)$$ QED
Bellina la disuguaglianza, mi piace un sacco.