Se non ho frainteso, fissato \(x > 0\) e definita la successione di numeri reali per ricorrenza: \[
a_0 = x,
\quad \quad
a_n = x^{a_{n-1}}
\quad \quad
\text{con} \; n=1,2,3,\dots
\] si richiede il calcolo del limite \(y := \begin{aligned}\lim_{n \to +\infty} a_n\end{aligned}\), ammesso che esista.
Da esperimenti numerici ho potuto constatare che:
- se \(x > e^{\frac{1}{e}}\) allora molto semplicemente \(y = +\infty\);
- se \(e^{-e} \le x \le e^{\frac{1}{e}}\) allora \(y = \begin{cases}
\frac{-W_0(-\log(x))}{\log(x)} & \text{se} \; x \ne 1 \\
1 & \text{se} \; x = 1 \\
\end{cases}\), che verifica l'equazione \(y = x^y\);
- se \(0 < x < e^{-e}\) allora \(\not\exists\,y\), in quanto per \(n\) pari si ottiene \(y_{\min}\) e per \(n\) dispari si ottiene \(y_{\max}\) stimabili risolvendo numericamente l'equazione \(y = x^{\left(x^y\right)}\). Ad esempio, se \(x = 0.06\) tale equazione è verificata per \(y \approx 0.216898\) o \(y \approx 0.36158\) o \(y \approx 0.54323\), da cui si ha \(y_{\min} \approx 0.216898\) e \(y_{\max} \approx 0.54323\).
Pertanto, graficando per punti \(y\) in funzione di \(x\) otteniamo:
mentre graficando per punti \(x\) in funzione di \(y\) otteniamo:
dove è stato fatto uso della
funzione W di Lambert.