Determinare tutti gli insiemi composti da quattro numeri reali $x_1,x_2,x_3,x_4$ tali che la somma di uno qualsiasi dei quattro con il prodotto degli altri tre sia pari a due.
Cordialmente, Alex
sellacollesella ha scritto: \[ x_3 + x_1\,x_2\left(2 - x_1\,x_2\,x_3\right) = 2 \quad \Leftrightarrow \quad x_2 = \frac{1}{x_1} \; \vee \; x_3 = \frac{2}{x_1\,x_2+1}. \]
axpgn ha scritto:Un'altra alternativa è questa:Testo nascosto, fai click qui per vederloPoniamo $p=x_1x_2x_3x_4$.
Si nota subito che ogni $x_i$ è diversa da zero quindi possiamo riscrivere le equazioni così $x_i+p/x_i=2$ ovvero $x_i^2-2x_1+p=0$ che ha come soluzioni $x_i=1+-sqrt(1-p)$ e affinché siano reali deve essere $p<=1$.
Se $p=1$ le radici sono tutte e quattro uguali a $1$
ecc...
axpgn ha scritto:Testo nascosto, fai click qui per vederloSe $p=1$ allora le soluzioni diventano $x_i=1+-sqrt(1-p)\ ->\ x_i=1+-sqrt(1-1)\ ->\ x_i=1+-0=1$
Perché una quadratica? Forse perché è più semplice ... de gustibus, ovviamente
axpgn ha scritto:Cioè?
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