Catena di triangoli isosceli

[axpgn]

Dato un triangolo isoscele $T$ con gli angoli di base $B$, sia $K(T)$ un triangolo isoscele il cui angolo al vertice sia $B$.
Per esempio se $T$ è un triangolo $80°-80°-20°$ allora $K(T)$ è un triangolo $50°-50°-80°$.

Trovare gli angoli di base dei triangoli della più lunga catena di triangoli $T, K(T), K(K(T)), ...$ tale che i triangoli non siano equilateri e che tutti gli angoli di tutti i triangoli siano espressi in un numero intero di gradi.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La formula ricorsiva per i triangoli e'
$B_{n+1} = (180 - B_n)/2$

Se la invertiamo, diventa:
$B_n = 180 - 2 B_{n+1}$

Questa equazione ricorsiva ha come punto fisso $B = 60$, quindi e' utile esprimere la formula in termini di un altro angolo $A$ tale che $B = A + 60$

La nuova formula diventa piu' semplice e diventa divergente a segni alternanti:
$A_n = - 2 A_{n+1}$

Quindi, partendo da un angolo iniziale $A$, si vede che l'angolo procede raddoppiando ad ogni passo.
Ad un certo punto l'angolo esce dai limiti che per l'angolo di base sono $0 < B <90$, ovvero $-60 < A < 30$.

Ovviamente conviene partire da angoli $A$ piccoli, per cui $A = \pm 1$.
Rimane da decidere quale segno (il piu' o il meno) determina la sequenza piu' lunga.
-1, +2, -4, +8, -16, (+32).
+1, -2, +4, -8, +16, -32, (+64).
tra parentesi il primo angolo fuori limiti.
Vince quindi $A = +1$

In termini di $B$ gli angoli sono: 28, 76, 52, 64, 58, 61

[axpgn]

Molto bene!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Solo una cosa: quella formula non è divergente, tutt'altro; infatti all'angolo $A=1$ corrisponde l'ultimo triangolo della catena non il primo