Tanti $5$

[axpgn]

Qual è la quinta cifra dalla fine (quella delle decine di migliaia) del numero $5^(5^(5^(5^(5^5))))$ ?



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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$5^5 = 3125$

$3125 " mod " 40 = 5$

$5^(40n+5) " mod " 10^5 = 3125, n \in NN$

$10^5 " mod " 40 = 0$

quindi:

$5 ^ (5 ^ (5 ^ (5 ^ (5 ^ 5)))) " mod " 10^5 = 5 ^ (5 ^ (5 ^ (5 ^ (3125)))) " mod " 10^5 = 5 ^ (5 ^ (5 ^ (3125))) " mod " 10^5 = ... = 3125$.

Cifra delle decine di migliaia = 0

[axpgn]

Giusto!

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Non mi è chiarissimo il procedimento, ci penserò su

[marcokrt]

Giusto per essere originale... questo procedimento non lo conosce davvero (quasi) nessuno al mondo

Sappiamo che la c.d. "velocità di congruenza" della base \( 5\) della tetrazione \(^{b}5 \) si stabilizza a partire da \(b=v_2(5^2-1)-1+2=4\) (cfr. riferimento bibliografico, Def. 2.1), dove \(v_2(\ldots)\) indica l'ordine 2-adico dell'argomento (vale a dire il numero di volte che \(2 \) divide \(5^2-1\) nell'esempio precedente), ed è pari a \(1\) per \(b=1\), \(4\) per \(b=2\) e \(3\) per \(b=3\), mentre il valore costante della velocità di congruenza di \( 5\), fisso per ogni incremento unitario dell'iperesponente a partire da \(b=4\) in poi, è pari a \( v_2(5-1) \), cioè a 4.
Faccio sommessamente notare che questa proprietà è generale e carateristica della tetrazione intera, ora stiamo giusto considerando un caso particolarmente semplice, cioè fissando la base "\(5\)".

Ne consegue dunque che \(^{b}5 \equiv ^{b+1}5 \pmod{10^{8+(b-3)\cdot 2}}\) per ogni intero \(b>2\). Nel (banale) caso della domanda, cioè calcolare il valore di \(\frac{^{6}5 \pmod{10^5} - ^{6}5 \pmod{10^4}}{10^4} = \frac{^{3}5 \pmod{10^5} - ^{3}5 \pmod{10^4}}{10^4} = \frac{5^5 \pmod{10^5} - 5^5 \pmod{10^4}}{10^4} = \frac{3125 - 3125}{10^4} =0 \), mi si perdoni l'abuso di notazione, ci basta salire ad altezza \(b=3 \) e poi ridiscendere grazie al prezioso contributo di Carmichael (ad esempio), ma se volessimo spingerci moooolto oltre e calcolare, che so, la milionesima cifra da destra di \(^{1000000}5 \), non dovremmo fare nulla di diverso e quindi partire da \(^{500000-1}5 \pmod{10^{8+(499999-3)\cdot 2}}\), sottrarci il numero formato dalle \(10^6-1\) cifre precedenti, cioè \(^{500000-1}5 \pmod{10^{8+(499999-3)\cdot 2 -1}}\), e poi dividere il risultato per \(10^6-1\).
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Ora, per calcolare le quantità già ridotte di cui sopra, consiglierei di considerare la funzione \(\lambda\), come già detto in precedenza, ma nulla ci vieta di usare la \(\varphi\) di Eulero, anche se meno performante. Altri contributi che ho apprezzato in questo contesto sono stati quello di Hensel con il suo famoso Lemma e quello dell'ignoto padre dell'LTE (purtroppo non ne conosco il nome, ma l'ho sfruttato in un preprint recente ancora in corso di revisione che quindi non richiamerò qui per correttezza).
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Riferimento (auto)bibliografico (quando anticipai tutto ciò qui, oltre 10 anni fa, molti ridevano): https://nntdm.net/papers/nntdm-28/NNTDM ... 41-457.pdf