Carte e gettoni

[axpgn]

Tre persone ($A$, $B$ e $C$) giocano così:

Su ognuna di tre carte viene scritto un intero.
Questi tre numeri $p, q, r$ soddisfano $0<p<q<r$.
Le tre carte vengono mescolate e poi ogni giocatore ne riceve una.
Quindi ogni giocatore riceve un numero di gettoni pari a ciò che è scritto sulla carta che ha ricevuto.
Poi le carte vengono rimescolate nuovamente mentre i gettoni rimangono ai giocatori.

Questo processo (mescolamento, distribuzione carte, distribuzione gettoni) viene ripetuto almeno per due volte.

Dopo l'ultimo giro, $A$ possiede $20$ gettoni in totale, $B$ ne ha $10$ e $C$ ne ha $9$.
Nell'ultimo giro $B$ ha ricevuto $r$ gettoni.

Chi ha ricevuto $q$ gettoni al primo giro?


Cordialmente, Alex

[giammaria]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ad ogni giro vengono distribuiti $p+q+r$ gettoni e dopo $n$ giri ce ne sono $20+10+9=39$, quindi $n(p+q+r)=39$. Il 39 può essere fattorizzato solo con $1*39$ o $3*13$ e poiché per ipotesi $n>1$ e $p+q+r>=1+2+3=6$ può essere solo $n=3$ e $p+q+r=13$.
Nell'ultimo giro, B ha avuto $r$, e nei giri precedenti può aver avuto solo due volte $p$, altrimenti avrebbe almeno 13 gettoni.
Nei primi due giri, C non ha avuto alcuna $p$ (perché le ha avute B) né alcuna $r$ (perché altrimenti avrebbe almeno 13 gettoni), quindi ha avuto due $q$ e questo risponde alla domanda finale : é C.
Potrei fermarmi qui, ma preferisco esainare le cose in modo più completo. In entrambi i primi due giri A, B, C hanno ordinatamente avuto $r, p, q$ e nell'ultimo giro possono aver avuto $q,r,p$ o $p,r,q$. Nel primo caso, si ha il sistema
${(2r+q=20),(2p+r=10),(2q+p=9):}$
con soluzione $p=1;q=4;r=8$, accettabile.
Nel secondo caso, l'analogo sistema dà $p=0;q=3;r=10$, non accettabile perché deve essere $p>0$.

[axpgn]

Perfetto!


È un problema olimpico