Considera il `numero'1 $x$ dato dal radicale infinito:
\[
x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots\ }\ }\ }\ }
\]
in cui i $\cdots$ indicano il ripetersi indefinitamente di $\sqrt{2 + \cdots}$.
1. Mostra che la quantità $x$ è positiva e che formalmente risolve l'equazione di secondo grado $x^2 = 2 + x$.
2. Risolvi l'equazione $x^2 = 2 + x$, calcolandone l'unica soluzione positiva.
3. Deduci l'unico possibile valore di $x$ dalle risposte ai punti precedenti.
4. Seguendo lo stesso schema, deduci gli unici valori possibili per i radicali infiniti:
\[
\begin{split}
x &= \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdots\ }\ }\ }\ } \\
x &= \sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \cdots\ }\ }\ }\ } \\
x &= \sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \cdots\ }\ }\ }\ } \; .
\end{split}
\]
5. Generalizza i risultati del punto 4, mostrando che ragionando in maniera analoga ai punti 1 - 3 puoi calcolare il valore di ogni radicale infinito del tipo:
\[
x = \sqrt{n(n+1) + \sqrt{n(n+1) + \sqrt{n(n+1) + \sqrt{n(n+1) + \cdots\ }\ }\ }\ }
\]
per ogni $n \in \NN$ ed $n\geq 1$.
Problema 2:
Considera il `numero' $x$ dato dal radicale cubico infinito:
\[
x = \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \cdots \ }\ }\ }\ }
\]
in cui, come sopra, i $\cdots$ indicano il ripetersi indefinitamente di $\root[3]{6 + \cdots }$.
1. Mostra che la quantità $x$ è positiva e che formalmente risolve l'equazione $x^3 = 6 + x$.
2. Risolvi l'equazione $x^3 = 6 + x$, mostrando che essa ha un'unica soluzione reale positiva.
[Suggerimento: riduci in forma normale ed usa il Teorema di Ruffini per scomporre il polinomio.]
3. Deduci l'unico possibile valore di $x$ dalle risposte ai punti precedenti.
4. Seguendo lo stesso schema, deduci gli unici valori possibili per i radicali infiniti:
\[
\begin{split}
x &= \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \cdots\ }\ }\ }\ } \\
x &= \sqrt[3]{60 + \sqrt[3]{60 + \sqrt[3]{60 + \sqrt[3]{60 + \cdots\ }\ }\ }\ } \\
x &= \sqrt[3]{120 + \sqrt[3]{120 + \sqrt[3]{120 + \sqrt[3]{120 + \cdots\ }\ }\ }\ } \; .
\end{split}
\]
5. Generalizza i risultati del punto 4, mostrando che ragionando in maniera analoga ai punti 1 - 3 puoi calcolare il valore di ogni radicale infinito del tipo:
\[
x = \sqrt[3]{(n-1)n(n+1) + \sqrt[3]{(n-1)n(n+1) + \sqrt[3]{(n-1)n(n+1) + \cdots\ }\ }\ }
\]
per ogni $n \in \NN$ ed $n\geq 2$.
- Le virgolette servono perché, in linea di principio, nessuno ci assicura che quello che stiamo per considerare sia un vero e proprio numero reale, in quanto contiene infinite radici quadrate\dots Tutto si può aggiustare, ma serve conoscere un po' di Matematica superiore (che, ironicamente, non s'insegna alle scuole superiori!). ↑