Perimetro

[axpgn]

Un cerchio è inscritto in un triangolo e un quadrato è circoscritto a questo cerchio in modo tale che nessun lato del quadrato sia parallelo a qualsiasi lato del triangolo.

Provare che meno della metà del perimetro del quadrato si trova all'esterno del triangolo.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dato un quadrato di lato 2, il cerchio inscritto e una tangente al cerchio, la massima porzione del perimetro del quadrato che viene tagliata "fuori" si verifica quando la tangente e' a 45 gradi rispetto a un lato del quadrato.
In questa posizione infatti, variando l'angolo della tangente, la velocita' con cui si spostano i punti di intersezione della tangente con il perimetro del quadrato e' la stessa, per motivi di simmetria.
Quindi in quella posizione ci deve essere un punto critico (l'unico) della lunghezza di perimetro escluso, siccome la sua derivata, cioe' la differenza tra le velocita', e' nulla. La derivata si intende rispetto all'angolo della tangente.
Si deduce che la massima porzione di perimetro escluso e' $4-2\sqrt 2$.
Supponendo un ipotetico triangolo, anche degenere, quindi con 3 lati tangenti che escludono 3 porzioni di perimetro, si raggiunge la lunghezza massima di perimetro escluso di $3(4-2\sqrt2)$.
Siccome $3(4-2\sqrt2) \approx 3.52 < 4$, ovvero e' minore del semiperimetro del quadrato, la tesi e' verificata.

[mgrau]

@quinzio
D'accordo che per un lato del triangolo il massimo si ha a 45°. Ma i lati sono tre, e non possono mica tutti essere a 45°

[Quinzio]

@mgrau

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

@quinzio
D'accordo che per un lato del triangolo il massimo si ha a 45°. Ma i lati sono tre, e non possono mica tutti essere a 45°

Ok, giusto, il ragionamento pero' e' questo.
Con 3 tangenti, comunque le prendi, la porzione massima di perimetro del quadrato che puoi tagliare fuori e' quella che ho indicato.
Non tutte le possibili posizioni delle 3 tangenti risultano in un triangolo con il cerchio inscritto.
Se ci sono almeno 2 tangenti parallele o coincidenti, non si forma alcun triangolo, invece se i punti di tangenza sono nella stessa semicirconferenza, si forma un triangolo, ma il cerchio non e' inscritto, e' fuori dal triangolo.
Negli altri casi, ovvero se i punti di tangenza NON sono nella stessa semicirconferenza si forma il triangolo col cerchio iscritto.
Quindi non tutte le posizioni delle tangenti formano il triangolo che ci interessa, ma tutte le posizioni tagliano fuori meno della meta' del perimetro.
In modo piu' rigoroso, l'area da considerare e' l'intersezione dei semipiani interni delle tangenti, dove con semipiano interno intendo il semipiano individuato dalla tangente, semipiano che contiene il cerchio.
Il perimetro del quadrato dentro a questa intersezione e' piu' della meta', quello fuori meno della meta'.

Se vuoi giocarci un po':
https://www.geogebra.org/calculator/s8tqmy7t

[mgrau]

Giusto. Ho fatto un'obiezione sciocca.