Calzini

[axpgn]

Il sindaco di Castelrotto di Sopra ha dieci paia di calzini, che variano in dieci diverse sfumature di colore, dal grigio medio (1) al nero (10).
Quando li ha indossati tutti, li lava e li asciuga tutti insieme; purtroppo nella lavanderia la luce è scarsa e là tutti i calzini paiono neri, perciò vengono appaiati a caso.
Un paio di calzini è inaccettabile da indossare se la differenza di colore tra i due calzini è maggiore di una sfumatura.

Qual è la probabilità che i calzini vengano appaiati in modo tale che tutte le dieci coppie siano accettabili?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Ci provo..

$F_{n+1}/{n!} $

dove $F_n$ e' l'ennesimo numero di Fibonacci.

Con $n=10$,

$F_{n+1}/{n!} = 89/3628800$

[axpgn]

No.

Perché questa risposta?

[Quinzio]

No.

Perché questa risposta?

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Ad esempio:
3 paia di calzini, sfumature da 1 a 3, differenza massima 1.

Al denominatore c'e' $3!$, su questo dovremmo essere d'accordo, direi.
Al numeratore i casi accettabili sono:
a) 123
b) 132
c) 213
I numeri scritti sono il secondo elemento di ogni paio di ognuna delle 3 coppie.
Il primo elemento di ogni paio e' in ordine numerico 123.
Ad es. il c) va visto come: (1,2)-(2,1)-(3,3)

$F_{3+1} = 3$

e $F_{3+1}/{3!} = 3/6 $

I casi accettabili per $n=4$ sono $5$
1234
1243
1324
2134
2143

e $F_{4+1} = 5$.

Il numero di casi accettabili segue la sequenza di Fib. 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

Mi sembra che sia tutto a posto, non so dove sia l'inghippo.

[axpgn]

@Quinzio

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I casi accettabili sono di più.
Per esempio, con tre paia di calzini hai i seguenti accoppiamenti:

$1a1b-2a2b-3a3b$
$1a2a-1b2b-3a3b$
$1a2b-1b2a-3a3b$
$1a1b-2a3a-2b3b$
$1a1b-2a3b-2b3a$

[Quinzio]

@Alex

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Non riesco a capire cosa sono quei $b$ e $a$ che hai messo nelle coppie.
Da quello che avevo capito abbiamo 3 paia di calzini (nell'esempio $n=3$).
I calzini in fila li rappresentiamo con 6 cifre, ad es: 112233

Poi i calzini escono dalla lavatrice in ordine casuale.
Vengono presi e ne vengono fatte 3 coppie.
Ad es. escono in questa sequenza.
123132
Vengono fatte le coppie 12 - 31 - 32.
Questa accoppiata non e' accettabile perche' la coppia 31 differisce di 2.
A questo punto, cosa possono essere $a$ e $b$ ?

[axpgn]

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I calzini sono due per ogni paio: $a$ e $b$

[Quinzio]

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Eh.... mi vien dire: e quindi ?
Sono 2 ma sono indistinguibili.

[axpgn]

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Hai un paio di calzini:
Prendi un calzino e lo appai con l'altro.
Un solo caso ed è accettabile.

Hai due paia di calzini:
Prendi un calzino, lo puoi appaiare con l'altro dello stesso colore oppure con uno dell'altro colore oppure con l'altro dell'altro colore.
Tre casi tutti e tre accettabili (l'altro paio viene sempre accettabile)
Già qui con Fibonacci non ci siamo.

Hai tre paia di calzini:
Per semplicità ma senza perdere di generalità, supponiamo di prendere un calzino dal colore più scuro (se vuoi puoi rifare lo stesso ragionamento partendo dal colore che vuoi).
Il calzino dal colore 1 lo puoi appaiare con l'altro dello stesso colore oppure con uno del colore 2 oppure con l'altro del colore 2 e basta; hai tre casi accettabili ma nel primo caso le altre due paia possono essere appaiate in tre casi (come dimostrato prima) portando il totale dei casi accettabili a 5.

And so on ...

[Quinzio]

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Il problema e' a monte:

I calzini dello stesso colore sono indistinguibili.
Quindi non c'e' un calzino di un colore e "l'altro" dello stesso colore.
Ci sono 2 calzini per ogni colore, uguali.

In vita mia non mi sono mai messo un paio di calze dicendo questo e' il destro e questo e' il sinistro.
In qualunque negozio i calzini sono venduti a paia, e i due pezzi del paio sono identici.