Antitrasformata di Laplace

[Allee]

Salve, vi scrivo per un chiarimento sul seguente esercizio:

Antitrasformare la funzione:

$ \mathcal(L) [u]= (e^(-zpi))/((z^2+1)(z^2+2z-3)) $

Dunque per antitrasformare vorrei applicare il metodo della scomposizione in fratti semplici, ma vista la presenza dell'esponenziale credo si debba applicare la proprietà $ \mathcal(L) [e^(cz)]=\mathcal(L[f]) (t-c) $
Dunque valuto la funzione $ \mathcal(L) [u]= (1)/((z^2+1)(z^2+2z-3)) $
Che scomposta in fratti semplici diventa:
$ (Az+B)/(z^2+1)+C/(z+3)+D/(z-1) $
A questo punto come devo calcolare le costanti valutandole come i residui della funzione nei vari punti singolari?
$ A=Res(f,i)=lim_(z -> i) 1/((z+i)(z+3)(z-1))= 1/(-4-8i) $
$ B=Res(f,-i)=lim_(z -> -i) 1/((z-i)(z+3)(z-1))= 1/(8i+4) $
$ C=Res(f,-3)=lim_(z -> -3) 1/((z-i)(z+i)(z-1))= -1/40 $
$ D=Res(f,1)=lim_(z -> 1) 1/((z-i)(z+3)(z+i))= 1/8 $
Questo è il modo corretto di procedere?
In seguito, calcolate le costanti, le sostituisco, calcolo le singole antitrasformate e poi effettuo la traslazione $ (t+pi) $ ?
Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte

[pilloeffe]

Ciao Allee,

$C$ e $D$ mi tornano, $A$ e $B$ no, mi risultano reali:

$A = - 1/10 \qquad \qquad B = - 2/10 $

D'altronde si ha:

$1/((z^2+1)(z^2+2z-3)) = (Az+B)/(z^2+1)+C/(z+3)+D/(z-1) = frac{A'}{z - i} + frac{B'}{z + i} + frac{C}{z + 3} + frac{D}{z - 1} = $
$ = frac{A'z + iA' + B'z - iB'}{z^2 + 1} + frac{C}{z + 3} + frac{D}{z - 1} = frac{(A' + B')z + i(A' - B')}{z^2 + 1} + frac{C}{z + 3} + frac{D}{z - 1} = $

si ottiene $ A' = -1/20 + i/10 $ e $B' = - 1/20 - i/10 $, da cui

$A = A' + B' = -1/20 + i/10 - 1/20 - i/10 = - 2/20 = - 1/10 $
$B = i(A' - B') = i(-1/20 + i/10 + 1/20 + i/10) = i frac{2i}{10} = frac{2i^2}{10} = - 2/10 $

[Allee]

Grazie per la risposta!

Dunque trovati i valori delle varie costanti ottengo:
$ -1/10(z/(z^2+1))-1/5(1/(z^2+1))-1/40(1/(z+3))+1/8(1/(z-1)) $

antitrasformando i singoli termini ottengo

$ u(t)=-1/10cos(t)-1/5sen (t)-1/40e^(-3t)+1/8e^t $

Il valore trovato corrisponde però all'antitrasformata della funzione $ 1/((z^2+1)(z^2+2z-3)) $

Poichè a me serve l'antitrasformata della funzione $ (e^(-zpi))/((z^2+1)(z^2+2z-3)) $

Dalla proprietà $ \mathcal(L[e^(ct)f(t)]) =\mathcal(L[f]) (z-c) $

Ottengo il valore dell'antitrasformata che dunque vale

$ u(t+pi)=-1/10cos(t+pi)-1/5sen (t+pi)-1/40e^(-3(t+pi))+1/8e^(t+pi)= 1/10cos(t)+1/5sen (t)-1/40e^(-3(t+pi))+1/8e^(t+pi) $

È corretto questo modo di procedere?