[RISOLTO] Trasformata di Fourier di $te^(-t^2)$

[phigreco]

Sia

$g(t)=te^(-t^2)$

come posso calcolarne la trasformata di Fourier senza calcolo integrale e usando le proprietà note?

Ad esempio una formula notevole è:

$F[e^(-at^2)](\omega) = sqrt(pi/a)e^(-(pi^2\omega)/a$ per $a>0$

Però il problema è che nel testo dell'esercizio ho il prodotto tra $t$ e la funzione la cui trasformata è nota... non so come comportarmi o che proprietà applicare per semplificare il tutto...

Il risultato esatto dovrebbe essere il seguente:

$F[te^(-t^2)](\omega)=-ipisqrt(pi)\omegae^(-pi^2\omega^2)$

[gugo82]

Qui potresti trovare qualcosa di utile (e.g., formula 106 oppure 107).

[phigreco]

Praticamente:

$(1)$ $[F(\varphi)]'(\omega) = (-2pii)F[t\varphi(t)](\omega)$

Nel mio caso ho:

$F[t\varphi(t)](\omega)$ con $\varphi=e^(-t^2)$
$->$ dalla $(1)$ segue che: $F[t\varphi(t)](\omega)=([F(\varphi)]'(\omega))/(-2pii)$
$-> ([F(\varphi)]'(\omega))/(-2pii) = (\partial/(\partial\omega) (sqrt(pi)e^(-pi^2\omega^2)))/(-2pii) =-ipisqrt(pi)\omegae^(-pi^2\omega^2) $