C'è un modo generale per scrivere una funzione lineare a tratti e convessa?

[glooo]

Sia $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione lineare a tratti e convessa.

Sia $\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ la successione dei punti di non derivabilità di $u$.

Mi chiedevo se esiste un modo generale per scrivere questa $u$.

Grazie!

[Rigel]

Dipende cosa intendi per "modo generale".
Una possibilità è scriverla come
\[
u(x) = a x + b + \sum_{i=1}^{+\infty} \delta_i \, \max\{x-x_i, 0\},
\]
con \(\delta_i > 0\) per ogni \(i\).
Il significato geometrico si capisce bene se supponi di avere i punti ordinati, \(x_1 < x_2 < \cdots\).
Quindi, per \(x < x_1\), la tua funzione sarà affine, diciamo \(u(x) = a x + b\).
Fra \(x_1\) e \(x_2\) aumenti il coefficiente angolare di \(\delta_1\), il che corrisponde ad aggiungere la parte \(\delta_1 (x-x_1)\) per \(x > x_1\). Quindi \(\delta_1 \geq 0\) rappresenta la differenza fra i coefficienti angolari nei due tratti.
Ad ogni nuovo punto \(x_i\) procedi in questo modo.

[glooo]

Grazie mille!!!

[dissonance]

Dipende cosa intendi per "modo generale".
Una possibilità è scriverla come
\[
u(x) = a x + b + \sum_{i=1}^{+\infty} \delta_i \, \max\{x-x_i, 0\},
\]

Che bello!

[Rigel]

Dipende cosa intendi per "modo generale".
Una possibilità è scriverla come
\[
u(x) = a x + b + \sum_{i=1}^{+\infty} \delta_i \, \max\{x-x_i, 0\},
\]

Che bello!

Non è farina del mio sacco: si tratta di un trucco standard utilizzato, ad esempio, nelle leggi di conservazione per passare dalle entropie convesse alle semientropie \(h(x) = \max\{x- k, 0\}\).
(Con questo trucco ogni entropia convessa può essere approssimata da una combinazione lineare di semientropie.)