Metodi Matematici - Risoluzione integrale

[TheBestNapoli]

$ int_(-oo)^(+oo)w|\hat(G)(w)|^2dw $Salve a tutti. Ho un problema con un esercizio di metodi matematici relativo alla risoluzione di un integrale.
$int_(-oo)^(+oo)w|\hat(G)(w)|^2dw$
Dove
$$ G(x) =
\bigg \{
\begin{array}{rl}
2-\frac{2x^2}{\pi^2} & -\pi<x \leq0 \\
cosx+1 & 0<x \leq \pi \\
\end{array}
$$
Il risultato di tale integrale è 0.
Io ho provato a svolgerlo applicando Plancherel, solo che c'è l'w prima del modulo che non so come trattarlo.
Qualcuno può darmi una mano per favore?? sono disperato

[anonymous_0b37e9]

A prescindere dalle notazioni e in assenza di scorciatoie, si può sempre procedere calcolando la trasformata di Fourier direttamente:

$[hatG(w)=int_(-oo)^(+oo)e^(iwx)G(x)dx=int_(-\pi)^(0)e^(iwx)(2-2/\pi^2x^2)dx+int_(0)^(\pi)e^(iwx)(cosx+1)dx]$

Se si considera che:

$[cosx=1/2e^(ix)+1/2e^(-ix)]$

l'unico integrale un po' più impegnativo è quello per parti:

$[int_(-\pi)^(0)e^(iwx)x^2dx=[(1/(iw)x^2+2/w^2x-2/(iw^3))e^(iwx)]_(-\pi)^(0)=2/w^3i+[(2\pi)/w^2+(\pi^2/w-2/w^3)i]e^(-i\piw)$

Ad ogni modo, visto che è necessario calcolare il quadrato del modulo della trasformata di Fourier:

$[int_(-oo)^(+oo)w|hatG(w)|^2dw]$

i conti certamente non mancano. Se $|hatG(w)|^2$ fosse una funzione pari, l'ultimo integrale sarebbe banalmente nullo:

$[int_(-oo)^(+oo)w|hatG(w)|^2dw=0]$

e, almeno, non sarebbe necessario calcolarlo esplicitamente.