$(L^(\infty)(X),||.||_infty)$è uno spazio di Banach

[materia]

Raga sono in crisi pesante, non riesco a capire la dimostrazione che $(L^(\infty)(X),||.||_infty)$è uno spazio di banach...
$ \forall \epsilon >0 \exists N(\epsilon)>0 : \forall n,m>N(\epsilon) \rightarrow ||(fn-fm)||_\infty<\epsilon$
Ora creo gli insiemi $A_n=\{x\inX:|f_n|>||f_n||_\infty \},E_n=\{x\inX:|f_n-f_m|>||f_n-f_m||_\infty \}$ che sono misurabili la cui misura è nulla.
definisco poi $A=\bigcup_n(A_n),E=\bigcup_n(E_n)$ a loro volta anche A ed E sono misurabili e per la subadditivitò la lori misura è nulla.
Considero$X_0=A\cupB$ che è sempre misurabile e con misura nulla.
A questo punto so che $\forallx\inX-X_0, |f_n-f_m|<||f_n-f_m||_\infty<\epsilon$ dunque per il criterio di cauchy uniforme esiste una funzione limite $f$ alla quale la mia successione di funzioni converge uniformemente in $X-X_0$
Ora arriva il pezzo che non capisco : considero $f$identicamente nulla in $X_0$ è dunque ovvio che $\forallx\inX_0||f_n-f||_\infty=||f_n||_\infty->0$ e si conclude la dimostrazione con l'osservazione che $f$ è misurabile. il libro è Bartle, Elements of integration ecco il libro, io vi ho messo gli appunti che sono più dettagliati in alcuni passaggi
http://bookre.org/loader/img.php?dir=57accfbba593cd909af92a6ca12b1bea&file=72.png

[Delirium]

[...] Ora arriva il pezzo che non capisco : considero $f$identicamente nulla in $X_0$ è dunque ovvio che $\forallx\inX_0||f_n-f||_\infty=||f_n||_\infty->0$ [...]

Questo non credo sia vero, ma in effetti non credo nemmeno che serva, per come Bartle definisce le essentially bounded functions... qual è, più precisamente, il tuo dubbio?

[materia]

il mio dubbio è che per provare che uno spazio normato X è di Banach, deve provare che ogni successione di Cauchy deve convergere in X, capisco la convergenza in X-X0 ma non capisco come faccia la successione a convergere in X0

Inoltre la parte che hai detto che forse non è vera è l'ultima riga della dimostrazione di Bartle, quindi deve essere vera

[Delirium]

[...] Inoltre la parte che hai detto che forse non è vera è l'ultima riga della dimostrazione di Bartle, quindi deve essere vera

No, Bartle non dice quello. Bartle "definisce a tratti" la funzione \(f\); dice che \(f(x)\) è \(= \lim f_n (x)\) se \(x \notin M\) mentre la pone (per convenzione) \(= 0 \) nei punti \(x \in M\). Avrebbe potuto equivalentemente porla \(=57\) nei punti di \(M\) perché per lui la convergenza uniforme è convergenza uniforme quasi ovunque, quindi a meno di insiemi di misura di Lebesgue nulla. Nella fattispecie \(M\) ha misura nulla.

Per completezza avresti dovuto richiamare la definizione di \(\sup\)-norma che Bartle usa.