Salve,
sto studiando sul Rossetti (quì) da pag. 464 , cercando di capire la dimostrazione dell'esistenza ,e dell'olomorfismo, della soluzione di un'equazione differenziale del secondo ordine nell'intorno di un punto regolare.
Vado subito al punto non chiaro. Abbiamo il sistema di equazioni :
$\{(u'=etau+rhov),(v'=varphiv+chiu),(u(z_0)=alpha),(v(z_0)=beta):}$
siamo in un cerchio di centro $z_0$ in cui le funzioni che moltiplicano $u,v$ sono olomorfe , e pongo
$M=max{|eta|,|rho|,|varphi|,|chi|}\quad,\quad m>={|alpha|,|beta|}\quad,\quad r=|z-z_0|$
Ci si può ricondurre a un sistema di equazioni integrali equivalente al sistema di eq. differenziali, che però ora non scrivo.
Adesso si definisce la successione:
$u_0=alpha\qquad ..\qquad u_{n}=alpha+\int_{z_0}^{z}[etau_{n-1}+rhov_{n-1}]dz'$ (analogamente per $v$)
A questo punto Rossetti fa vedere che
$|u_1-u_0|<=2mMr$ (stessa cosa per $v$) e fin quì ci sono, poi dice che $|u_2-u_1|<=m(2Mr)^2/(2!)$ e a me non torna quel $2!$. Svolgendo i calcoli:
$|u_2-u_1|<=\int_{z_0}^{z}|eta(u_1-u_0)|dz'+\int_{z_0}^{z}|rho(v_1-v_0)|dz'<=2mMr\int_{z_0}^{z}|eta|dz'+2mMr\int_{z_0}^{z}|rho|dz'<=2mMr*M\int_{z_0}^{z}dz'+2mMr*M\int_{z_0}^{z}dz'=m(2Mr)^2$
e appunto mi manca quel $2$ a denominatore.
Avevo anche pensato che bisognava integrare anche $r$ , ma in questo caso per come viene posta la questione da Rossetti non è chiaro come integrare, perchè $r$ non è olomorfa, quindi non posso integrare come mi pare, e non riesco a trovare l'errore nei calcoli...