Facciamo un esempio: sia dato l'integrale reale \( \displaystyle I = \int_{-1}^{1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\frac{1}{x^2 + 1}}dx \) . Passiamo al campo complesso e l'integrale diventa \( \displaystyle I = \int_{\Gamma}{\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}\frac{1}{z^2 + 1}}dz \) , in cui l'integranda è una funzione avente punti di diramazione in $z = 1 $ e $z = -1$.
Inoltre nel piano complesso $\Gamma$ è un cammino di integrazione fatto come nella figura riportata qui: http://tinypic.com/r/fjl36c/9
Nelle soluzioni dell'esercizio trovo scritto che, se consideriamo l'integrale su $L_2^+$ (vedi figura), scegliendo come determinazione della radice quella per cui $\sqrt{1} = 1$, si ha che per $\rho \rightarrow 0$ vale $arg(1-z) = -\pi$ e $arg(1+z) = 0$. Da questo si ottiene che $arg(\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}) = 1/2 (arg(1-z) - arg(1+z)) = -\frac{\pi}{2}$.
Ora, quello che non riesco a capire, è: come trovo i valori di $arg(1-z)$ e $arg(1+z)$? Qualcuno potrebbe spiegarmelo per favore con parole semplici? So che probabilmente è semplice, ma ho iniziato analisi complessa da poco e tener conto di funzioni che ruotano nel piano complesso e cambiano valore vicino ai tagli mi manda in confusione!
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà darmi una mano
