Alcune osservazioni sparse, rigorosamente in spoiler per non confondere/influenzare eventuali risolutori.
Sinceramente? Sono un po' bloccato sul caso $u(0)=0$, che non sono sicuro di saper trattare come si deve. In ogni caso, supponendo che $u(0)>0$, la linearità dell'operatore è pressoché immediata, infatti fissati \(f,g\in C([0,1])\) e $\lambda\in\mathbb{R}$, allora $\forall x\in[0,1]$ valgono le uguaglianze:
$(1)\ \ \ T_u(f+g)(x)=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}(f(t)+g(t))u'(t)dt=$
$=\frac{1}{u(x)}\left[\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt+\int_{0}^{x}g(t)u'(t)dt\right]=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt+\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}g(t)u'(t)dt=$
$=T_u(f)(x)+T_u(g)(x)$
e
$(2)\ \ \ T_{u}(\lambda f)(x)=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}\lambda f(t)u'(t)dt=\lambda\left(\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt\right)=\lambda T_{u}(f)(x)$
(1) e (2) dimostrano che $T_{u}(f)(x)$ è un operatore lineare su \(C([0,1])\).
E il caso $u(0)=0$? Bisogna prima di tutto capire come si comporta l'operatore in un intorno destro di $x_0=0$ quando $u$ si annulla in $x_0$.
Calcolo il limite
$\lim_{x\to 0^{+}}T_{u}(f)(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt=$
che, grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale e al teorema di De l'Hospital, diventa
$=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{u'(x)}f(x)u'(x)=f(0)$
Le funzioni che $T_{u}(f)(x)$ produce possono essere prolungate con continuità in $x_0=0$, ponendo
$T_{u}(f)(0)=f(0)$
Supponendo che $u(0)=0$, la linearità di $T_{u}(f)(x)$ si dimostra ripercorrendo i passaggi in (1) e in (2) $\forall x\in (0,1]$ e aggiungendo i casi "banali"
$T_{u}(f+g)(0)=(f+g)(0)=f(0)+g(0)=T_{u}(f)(0)+T_{u}(g)(0)$
$T_{u}(\lambda f)(0)=\lambda f(0)=\lambda T_{u}(f)(0)$
In teoria, ho dimostrato la linearità di $T_{u}(f)(x)$, o almeno spero.
Prima di scrivere altre sciocchezze, preferirei mettere un punto fermo a quanto fatto finora. Potreste dirmi se ho scritto bestialità?