Singolarità e residui di funzioni periodiche

[Bnert]

Ciao , devo trovare le singolarità e calcolare i residui della seguente funzione :
$f(z)=z/(sin(z)*(e^z-1))$
$sin(z)$ e $e^z$ sono entrambe funzioni periodiche e , provando a svolgerlo , sono giunto alla conclusione che le singolarità sono infinite e sono $kpi , k=0,1,2,...$ per $sin(z)$ e $2kpii , k=0,1,2,...$ per $e^z-1$ .
So che $sin(z)=(-1)^k*sin(z-kpi)$ , quindi da questo arrivo alla conclusione che i $kpi$ sono poli di ordine 1 . Come faccio per le singolarità di tipo $2kpii$ ?
Grazie