lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto non è uno spazio di Banach

[manuelb9393]

Buonasera,
Ho un esercizio in cui mi si richiede di dimostrare che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto su $R^n$ non è chiuso in $L^infty (R^n)$ rispetto alla norma dell'estremo superiore essenziale e che, dunque, rispetto a tale norma non è uno spazio di Banach.

Per quanto riguarda la seconda parte è tutto chiaro, ogni sottospazio chiuso di uno spazio di Banach è anch'esso di Banach. Sulla prima parte invece ho dei problemi.

Suppongo vi sia da trovare una successione di funzioni continue e a supporto compatto che converga, rispetto alla norma dell'estremo superiore essenziale, ad una funzione che non ha supporto compatto o che non sia continua, ma aimé zero idee.

Un suggerimento?

Grazie in anticipo

[manuelb9393]

Ad esempio, se considerassi:
$f_n(x)=1/x + 1/n$ per $x in (0,n)$, allora $Supp(f_n)=[0,n]$ e le $f_n$ sono chiaramente continue nel loro insieme di definizione. Ma, passando al limite, esse convergono a $f(x)=1/x$ che ha supporto $[0,+infty)$.
Può funzionare?

[gugo82]

Ragiona in dimensione $1$, in generale è analogo.
Se prendi una successione $(f_n) in C_c(RR)$ convergente ad $f$ in norma, allora $f_n -> f$ uniformemente; ma ciò significa che è possibile scambiare l’ordine dei limiti e perciò $f -> 0$ per $x -> oo$. Quindi la chiusura di $C_c$ in norma $oo$ è lo spazio $C_0(RR)$ delle funzioni continue ed infinitesime all’infinito… Che è giusto giusto un po’ più piccolo di $L^oo$.