Dubbio su arcocoseno complesso

[Leonardo97]

Buongiorno a tutti.

Definiamo l'arcocoseno complesso (più precisamente il suo valore principale) nel seguente modo:

$\arccos: \mathbb{C} \setminus {\pm 1} \to \mathbb{C} | \arccos(z)=-i\log(z+i\sqrt{1-z^2})$,

dove $\log(z)=\ln|z|+i arg(z)$ è il valore principale del logaritmo complesso (cioè $-\pi<arg(z) \le \pi$),

mentre $\sqrt{1-z^2}=e^{\frac{1}{2}\log(1-z^2)}$ è il valore principale della radice quadrata complessa.

La mia domanda è: quanto fa $\arccos(cos(z))$? ($\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ è il coseno complesso).

Il mio procedimento è il seguente: fissiamo anzitutto $z \in \mathbb{C} \setminus {k\pi | k \in \mathbb{Z}} \quad \Rightarrow \quad \cos z \in \mathbb{C} \setminus {\pm 1}$.

Dunque possiamo buttarci nel calcolo:

\[\arccos(\cos(z))=-i\log\left(\cos z+i\sqrt{1-\cos^2z}\right)=-i\log\left(\cos z+ie^{\frac{1}{2}\log(\sin^2z)}\right)=\\
\\
=-i\log\left(\cos z+ie^{\frac{1}{2}\left(2\log(\sin z)+i2\pi\left[\frac{\pi-2\arg(\sin z)}{2\pi}\right]\right)}\right)=-i\log\left(\cos z+i\sin ze^{i\pi\left[\frac{\pi-2\arg(\sin z)}{2\pi}\right]}\right)\]

avendo usato il fatto che $\sin^2z+\cos^2z=1$ e che $\log(w^2)=2\log(w)+i2\pi\left[\frac{\pi-2\arg(w)}{2\pi}\right]$ dove con le parentesi quadre indicherò sempre l'operatore "parte intera".

Dunque se $\arg(\sin(z)) \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, cosi che $\left[\frac{\pi-2\arg(\sin z)}{2\pi}\right]=0$, allora:

\[\arccos(\cos(z))=-i\log\left(\cos z+i\sin z\right)=-i\log\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}+i\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)=-i\log(e^{iz})=\\
\\
=-i\left(iz+i2\pi\left[\frac{\pi-\Im(iz)}{2\pi}\right]\right)=z+2\pi\left[\frac{\pi-\Re(z)}{2\pi}\right]\]

avendo sfruttato il fatto che $\log(e^w)=w+i2\pi\left[\frac{\pi-\Im(w)}{2\pi}\right]$ per ogni $w \in \mathbb{C} \setminus {0}$.

Dunque (finalmente) se $\Re(z) \in (-\pi,\pi]$, cosi che $\left[\frac{\pi-\Re(z)}{2\pi}\right]=0$, allora $\arccos(\cos(z))=z$.

In sostanza mi interesserebbe sapere se il mio procedimento è corretto. Quello che vorrei sapere è quando l'argomento principale dell'arccoseno complesso possa considerarsi effettivamente come la funzione inversa del coseno complesso, cioè a quale porzione del piano complesso devo restringere il coseno complesso al fine di renderlo iniettivo e dunque invertibile con inversa data appunto da $\arccos$.

[anonymous_0b37e9]

Dunque (finalmente) se ...

Veramente:

$[-\pi lt x lt= \pi] ^^ [arccos(cosx)=x]$

è falso anche nel caso reale. Solo per fare un esempio:

$arccos(cos(-\pi/2))=\pi/2$

[Leonardo97]

Le condizioni infatti sono due: $\Re(z) \in (-\pi,\pi]$ e $\arg(\sin(z)) \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$.

Messe insieme (stando a quanto dice wolfram alpha) danno che $\Re(z) \in (0,\pi)$ (anche se su quest'ultima cosa non ci giurerei).

Grazie comunque per la risposta

[anonymous_0b37e9]

La funzione $cosz$ è periodica di periodo $2\pi$. A naso direi che l'inversione si operi nella striscia del piano complesso:

$[0 lt= x lt= \pi] ^^ [AA y in RR]$

Ad ogni modo, non ho capito perché escludi:

$z=+-1$

dal dominio di $arccosz$. Del resto:

$[w=(e^(iz)+e^(-iz))/2] rarr$

$rarr [e^(2iz)-2we^(iz)+1=0] rarr$

$rarr [e^(iz)=w+sqrt(w^2-1)] rarr$

$rarr [z=-ilog(w+sqrt(w^2-1))] rarr$

$rarr [arccosz=-ilog(z+sqrt(z^2-1))]$

Insomma, il fatto che siano punti di ramificazione non significa che vadano esclusi dal dominio. A meno che tu intendessi escludere i punti in cui la funzione non è olomorfa.

[Leonardo97]

Ok, si credo anche io che il coseno complesso sia invertibile sulla striscia $S={z \in \mathbb{C} | \Re(z) \in (0,\pi)}$ con inversa data dal ramo principale dell'arccocoseno complesso.

Ho escluso $z=\pm 1$ perché a rigore non è ivi definito il ramo principale della radice quadrata. Infatti $\sqrt{1-z^2}:=e^{\frac{1}{2}\log(1-z^2)}$ e quindi $1-z^2 \ne 0$, cioè $z \ne \pm 1$.

Comunque in effetti si può ovviare a tale inconveniente ponendo ad esempio $\arccos(\pm 1):=0$.

Il resto del ragionamento da me fatto sul calcolo effettivo di $\arccos(\cos(z))$ ti convince?

Grazie mille per la pazienza e la disponibilità

[Leonardo97]

Insomma, il fatto che siano punti di ramificazione non significa che vadano esclusi dal dominio. A meno che tu intendessi escludere i punti in cui la funzione non è olomorfa.

No, no, non mi stavo preoccupando della differenziabilità. Altrimenti avrei escluso direttamente $(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)$.