Definizione alternativa successione di Cauchy

[Isaac888]

Salve a tutti.

Ho trovato sull'Acerbi-Buttazzo (Primo corso di analisi matematica 1997, pag 246) la seguente osservazione:
Sia $(E,d)$ uno spazio metrico. Allora $(a_n)_n\in E$ successione di Cauchy SE E SOLO SE:$$\limsup_{n\rightarrow +\infty}\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_n,a_m)=0$$Il libro dice che questo si dimostra "facilmente" con la caratterizzazione del massimo limite.
Magari anche per voi è una cavolata ma non ci sto proprio riuscendo a verificarlo. Sono fermo alla definizione di $$\limsup_{n\rightarrow +\infty}a_n:=\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sup_{k\geq n}a_k)$$ Ho cercato ovunque in rete in tutte le lingue una dimostrazione di questa cosa ma non ho trovato niente. O niente che riuscissi a capire. Avrei bisogno di vedere tutti quanti i passaggi. Vorrei proprio vedere bene come da $$\forall \epsilon>0\ \ \exists \nu_{\epsilon}\ |\ \forall n,m\geq \nu_{\epsilon}\ \ d(a_n,a_m)<\epsilon$$ si passa alla definizione sopra e viceversa. Qualcuno mi può aiutare per favore? anche semplicemente una dimostrazione completa da qualche parte...

grazie in anticipo

[Isaac888]

Ho provato a dare questa dimostrazione. Me la controllate per favore?
$$\text{CAUCHY} \implies \limsup_{n\rightarrow +\infty}\limsup_{m\rightarrow+\infty}d(a_n,a_m)=0$$
CAUCHY(def): $\forall \epsilon\ \ \exists \nu_{\epsilon}\in\mathbb{N} |\ \forall n,m\geq \nu_{\epsilon}\ d(a_m,a_n)<\epsilon$.

Passo al \(\limsup\) rispetto ad $m$:
$$\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_m,a_n)=$$ $$\lim_{m\rightarrow +\infty}(\sup_{k\geq m}d(a_k,a_n)) \leq \sup_{k\geq \nu_{\epsilon}}d(a_k,a_n)$$ sia ora$$b_n:=\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_m,a_n) \implies$$ $$b_n\leq \sup_{k\geq \nu_{\epsilon}}d(a_k,a_n):=c_n\ \forall n\in \mathbb{N}$$
ora \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow +\infty}\) $b_n=\lim($\(\displaystyle\sup_{t\geq n}b_t)\)$\leq \lim_{n\rightarrow +\infty}($\(\displaystyle\sup_{t\geq n}c_t)\), tuttavia \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \sup_{t\geq n}c_t\leq \sup_{t\geq \nu_{\epsilon}}c_t=\sup_{t,k\geq\nu_{\epsilon}}d(a_k,a_t)\leq\epsilon\).
Quindi ne segue
$$\limsup_{n\rightarrow +\infty}\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_m,a_n)\leq \sup_{t,k\geq \nu_{\epsilon}}d(a_k,a_t)\leq\epsilon$$
Da cui la tesi segue per l'arbitrarietà di $\epsilon$.


ALTRA FRECCIA:
Sia $\epsilon>0$. Faccio vedere che $\exists \nu_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ tale che $\forall m,n\geq \nu_{\epsilon}$ allora $d(a_m,a_n)<\epsilon$.

Dato che \(\displaystyle \limsup_{n\rightarrow +\infty}\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_n,a_m)=0\) dunque
$\exists N\in\mathbb{N}$ abbastanza grande tale che \(\displaystyle \sup_{n\geq N}(\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_n,a_m))<\epsilon\).

A maggior ragione $\forall n\geq N$ vale
$$\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_n,a_m)\leq \sup_{n\geq N}(\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_n,a_m))<\epsilon$$
Allora \(\displaystyle \exists M\in \mathbb{N}\ \sup_{m\geq M}d(a_n,a_m)<\epsilon\).

Sia $\nu_{\epsilon}:=max{N,M}$, ne segue che:
$$\sup_{m,n\geq \nu_{\epsilon}}d(a_n,a_m)<\epsilon$$ In particolare vale che $\forall n,m\geq\nu_{\epsilon}\ \ \ \ d(a_n,a_m)<\epsilon$, che è quello che volevo dimostrare, allora la successione è di Cauchy.

[otta96]

È sostanzialmente giusto, solo un paio di incorrettezze:

$$b_n\geq \sup_{k\geq \nu_{\epsilon}}d(a_k,a_n)$$

La disuguaglianza era nell'altro verso.

ma \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \sup_{t\geq n}c_t\leq \sup_{t\geq \nu_{\epsilon}}c_t=\sup_{t,k\geq\nu_{\epsilon}}d(a_k,a_t)<\epsilon \)
Allora \( \displaystyle \limsup_{n\rightarrow +\infty}\limsup_{m\rightarrow +\infty}d(a_m,a_n)\leq \sup_{t,k\geq \nu_{\epsilon}}d(a_k,a_t)<\epsilon \)

Le disuguaglianze dovrebbero essere larghe, in quel passaggio non è giustificato che siano strette.

Sia $ \epsilon>0 $ tale che $ d(a_n,a_m)<\epsilon $.

Qua $\epsilon$ lo devi prendere generico, senza particolari proprietà, e la seconda parte della frase non si capisce cosa ci sta a fare, scritta così non va bene.
Poi dovresti dire $EEN\inNN$ per spiegare che ruolo ha questo $N$ che sbuca fuori.

Allora \(\displaystyle \forall M\in \mathbb{N}\ \sup_{m\geq M}d(a_n,a_m)<\epsilon\), se $n\in \mathbb{N}$.
In particolare allora \(\sup_{m,n\geq N}d(a_n,a_m)<\epsilon \), cioè $d(a_n,a_m)<\epsilon$.
Allora la successione è di Cauchy perchè posso scegliere $\nu_{\epsilon}=N$.

No, qui $EEM\inNN$; poi devi prendere $\nu_\epsilon>=\max{N,M}$.

[Isaac888]

Dunque, ho modificato la mia risposta data precedentemente avendo cura il più possibile delle tue correzioni. In particolare ho cambiato l'ultima parte e corretto le sviste che mi segnalavi. Colgo l'occasione per ringraziarti ancora otta96.

[otta96]