da 3m0o » 08/11/2022, 13:21
Le uniche informazioni che ho su sta cosa sono quelle che ho visto a corso, cioè queste:
Idea: Una funzione \( f: G \to \mathbb{R} \) su un gruppo dovrebbe essere "armonica" se possiede la "proprietà dei valori medi", ovvero se per ogni \(x \in G \), \( f(x) \) è la media dei valori di \(f\) "attorno" a \(x\). Doppiamo fissare una qualche media su \(G\).
Definizione: Sia \(X\) un insieme. \( \mathbb{R}[X] \) l'insieme delle funzioni con supporto finito su \(X\). Per ogni \(f \in \mathbb{R}[X] \) possiamo scrivere \( \sum_{x \in X} f(x) \delta_x \), i.e. \( X\) ci fornisce una base \( \{ \delta_x : x \in X \} \) per \( \mathbb{R}[X] \). Se \(X,Y,Z \) sono insiemi e \( p : X \times Y \to Z \) una mappa, otteniamo una mappa bilineare
\[ \mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}[Y] \to \mathbb{R}[Z] \]
\[ (\delta_x,\delta_y ) \mapsto \delta_{p(x,y)} \]
Se \(X=Y=Z=G \) un gruppo allora \( (\delta_g,\delta_h) \mapsto \delta_{gh} \). Questa mappa è chiamata convoluzione e denotata \( \ast \).
Quindi \( (f\ast g)(x) \) per \(x \in G \) e \( f,g \in \mathbb{R}[G] \):
\[ (f\ast g)(x) = \left( \left( \sum_{y \in G} f(y) \delta_y \right) \ast \left( \sum_{z \in G} g(z) \delta_z \right) \right) (x) = \sum_{y \in G} f(xy^{-1}) g(y) \]
Questo prodotto di convoluzione fa senso anche in altri casi oltre \( \mathbb{R}[G] \), ad esempio se \(f \in \ell^{\infty} \) e \( g \in \ell^1 \).
Definizione: Scegliamo \( \mu \in \operatorname{Prob}(G) = \{ \varphi : G \to \mathbb{R}_+ : \sum \varphi(g) = 1 \} = \ell^{1}(G) \cap M(G) \), dove \(M(G) = \{ \text{ medie su } G \} \), ma non vogliamo pensarla come una media. Allora diciamo che \(f : G \to \mathbb{R} \) è \( \mu\)-armonica se \( f \ast \mu = f \), i.e. se per ogni \(x \) abbiamo
\[ f(x) = \sum_{y \in G} f(xy^{-1}) \mu(y) \]
NB: Consideriamo solo \(f \in \ell^{\infty} \).
Esempi:
-\(G= \mathbb{Z} \) e \( \mu = \frac{1}{2} \left( \delta_{-1} + \delta_1 \right) \) allora \(f \) armonica se e solo se \( f(x) = \frac{1}{2} \left( f(x+1) + f(x-1) \right) \)
- \(G=F_2 = F_{\{a,b\}} \) e \( \mu = \frac{1}{4} \left( \delta_a + \delta_b + \delta_{a^{-1}} + \delta_{b^{-1}} \right) \) allora \( f \) armonica se e solo se
\[ f(x) = \frac{1}{4} \left( f(xa^{-1}) + f(xb^{-1}) + f(xa) + f(xb) \right) \]