Valore atteso, definizione inaspettata

[marco2132k]

Sia \( (\Omega,\mathcal F,\mathrm P) \) uno spazio di probabilità e sia \( f\colon \Omega\to \mathbb R \) una funzione misurabile e limitata. Data una famiglia \( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente di numeri reali \( a_m \), siano
\[
\begin{aligned}
I^* = \inf&\left\{\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m - 1},a_m\right]):\text{\( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente}\right\}\\
I_* = \sup&\left\{\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m},a_{m + 1}\right]):\text{\( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente}\right\}
\end{aligned}
\] rispettivamente l'integrale superiore e l'integrale inferiore di \( f \).
Sto cercando di provare che \( f \) è Lebesgue integrabile se e solo se \( I^* = I_* \), e in tal caso
\[
I_* = \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P = I^*\,\text{,}
\] ma mi sono bloccato.

Innanzitutto, è vero? Poi, perché la famiglia degli \( a_m \) è indiciata da \( \mathbb Z \)?

E infine... ho qualche idea ma è troppo lungo scrivere tutto. Siccome magari è ovvio, chiedo: avete qualche suggerimento?

[dissonance]

Ma cosa significa Lebesgue integrabile? Qui è solo questione di definizioni. Quella che hai scritto potrebbe essere presa come definizione di Lebesgue integrabilità.

[marco2132k]

Allora, a me l'integrale di Lebesgue è stato definito prima per le funzioni a valori in \( \left[0,+\infty\right] \), per le quali si pone \( \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P \) pari all'estremo superiore degli integrali delle funzioni \( \phi\colon \Omega\to \mathbb R \) della forma \( \phi = \sum_{j = 1}^nc_j\chi_{E_j} \) tali che \( 0\leqq \phi\leqq f \) (dove \( E_1,\dots,E_n \) sono misurabili, \( c_1,\dots,c_n \) sono numeri reali, e le \( \chi_{E_j} \) sono le funzioni caratteristiche); e poi per le funzioni a valori reali, per le quali si pone \( \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P \) pari alla differenza \( \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P = \int_\Omega f^{+}\,\mathrm d\mathrm P - \int_\Omega f^{-}\,\mathrm d\mathrm P \).

Così fa un po' chiunque, mi sembra (a parte Evans e qualche altro pazzo). Naturalmente questa costruzione va bene per una qualsiasi \( f \) misurabile definita su un qualsiasi spazio di misura.

[dissonance]

Sicuramente le due definizioni si ridurranno alla stessa cosa. Infatti quelle robe nel primo post sono esattamente integrali di funzioni semplici, scritti in un linguaggio leggermente diverso.

La successione è indicizzata da \(\mathbb Z\) perché così gli andava a chi ha scritto ciò che stai leggendo. In quello che hai scritto, \(\mathbb Z\) potrebbe essere sostituito da qualunque insieme numerabile e sarebbe esattamente la stessa cosa. Probabilmente in seguito \(\mathbb Z\) tornerà più comodo, non lo so.

P.S.: https://dizionari.corriere.it/dizionari ... zare.shtml

"Indiciare" non esiste in italiano

[otta96]

In realtà credo che l'insieme degli indici sia $ZZ$ perchè vuole un insieme ordinato illimitati sia superiormente che inferiormente, e questa cosa la usa.
Poi che sia in un certo senso "minimo" (e non $QQ$, ad esempio) probabilmente è per rendere più forte l'enunciato.

[marco2132k]

Allora, facciamo che \( f\geqq 0 \) sia integrabile nel senso descritto qui. Considero una funzione semplice \( \phi = \sum_{j = 1}^n c_j\chi_{E_j} \) tale che \( 0\leqq \phi\leqq f \), e suppongo che \( c_j < c_{j + 1} \) per ogni \( j = 1,\dots,n - 1 \). A questo punto definirei \( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) come
\[
a_m =
\begin{cases}
c_1 & \text{m < 1}\\
c_m & \text{se \( m = 1,\dots,n \)}\\
c_n & \text{m > n}
\end{cases}
\] in modo da avere una successione di numeri reali crescente. Ma adesso non so se
\[
\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_m,a_{m + 1}\right])\leqq \sum_{j = 1}^n c_j \mathrm P(E_j)\leqq \sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m - 1},a_m\right])
\] e quindi non riesco a concludere (occhio che le somme a sinistra e a destra sono somme finite).

[Mathita]

Per curiosità, hai risolto? Stavo riflettendo sull'equivalenza delle definizioni, e ancora non ho trovato una strada per dimostrarla. Tuttavia, penso che l'idea di dissonance sia quella vincente.

Sul perché si indicizzi su $\mathbb{Z}$, suppongo che serva per considerare anche le successioni $(a_k)_k$ tali che

$\bigcup_{m\in\mathbb{Z}}]a_m, a_{m+1}]=\mathbb{R}$

[marco2132k]

@Mathita Oltre a quello che ho scritto l'altro giorno, sono arrivato alla conclusione che probabilmente si riesce a fare qualcosa se si dimostra un "teorema della convergenza monotona" per l'integrale che definisco qui. Poi non ci ho più pensato sinceramente.