$$I:=\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi{\frac{1-r^2}{1+r^2-2rcos(\theta-\phi)}}d\phi$$
dove $0<r<1$ è costante, $\theta\in[0,2\pi[$ costante e la variabile di integrazione $\phi\in[0,2\pi[$.
Avevo pensato di vederla così: se $a:=\frac{2r}{1+r^2}$ (dove $0<a<1$, per $r\ne 1$) allora
$$I=\frac{1-r^2}{2\pi(1+r^2)}\int_0^{\pi}{\frac{1}{1-a\cdot cos(\theta-\phi)}}d\phi$$
Chiamando $$J:=\int_0^{\pi}{\frac{1}{1-a\cdot cos(\theta-\phi)}}d\phi \implies I=\frac{1-r^2}{2\pi(1+r^2)}J$$
così mi risolvo $J$.
Ora, ci sono almeno due strade per risolvere questo integrale. Una è quella di calcolare la primitiva e valutarla negli estremi di integrazione, l'altra (che è quella che voglio usare) è usare il teorema dei residui. Con questa ultima via non ne sto venendo a capo però. Qualcuno mi può aiutare per favore? Non capisco dove sto sbagliando. Non riesco ad ottenere una dipendenza da $\theta$.
I miei calcoli:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Faccio una sostituzione per portare gli estemi in $[0,2\pi]$: se $t=2\phi \implies d\phi=\frac{dt}{2}$. Così il mio integrale diventa:
$$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}{\frac{dt}{1-a\cdot cos(\theta-\frac{t}{2})}}$$
A questo punto se chiamo $z:=e^{i(\theta-\frac{t}{2})$ allora $cos(\theta - \frac{t}{2})=\frac{z+\bar{z}}{2}$, mentre $dt=-\frac{2}{i}\frac{dz}{z}$. Così sostituendo tutto ottengo:
$$\frac{4}{ia}\oint_{\gamma}\frac{dz}{z^2-\frac{2}{a}z+1}=\frac{4}{ia}\oint_{\gamma}f(z)dz$$
dove $f(z):=\frac{1}{z^2-\frac{2}{a}z+1}$, che è una funzione razionale senza poli sulla circonferenza unitaria parametrizzata dalla curva $\gamma$ nel piano complesso.
L'unico polo (reale) presente all'interno del disco è $z_0:=\frac{1}{a}(1-\sqrt{1-a^2})$ e dunque $Res(f(z))_{z=z_0}=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) = \frac{1}{z_0-\frac{1}{a}(1+\sqrt{1-a^2})}=-\frac{1}{\frac{2}{a}\sqrt{1-a^2}}$.
Allora si ha che $\oint_{\gamma}f(z)dz=2\pi i Res(f(z))=2\pi i(-\frac{1}{\frac{2}{a}\sqrt{1-a^2}})=-\frac{a\pi i}{\sqrt{1-a^2}}$.
Quindi$$
J=\frac{1}{2}\cdot(\frac{4}{ia}(-\frac{a\pi i}{\sqrt{1-a^2}}))=-\frac{2\pi}{\sqrt{1-a^2}}$$.
Dunque in definitiva si ha che:
$$
I=\frac{(r^2-1)\pi a}{r\sqrt{1-a^2}}
$$
Ovviamente non torna! Dovrei trovare una dipendenza da $\theta$. Dove me la sono persa?
$$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}{\frac{dt}{1-a\cdot cos(\theta-\frac{t}{2})}}$$
A questo punto se chiamo $z:=e^{i(\theta-\frac{t}{2})$ allora $cos(\theta - \frac{t}{2})=\frac{z+\bar{z}}{2}$, mentre $dt=-\frac{2}{i}\frac{dz}{z}$. Così sostituendo tutto ottengo:
$$\frac{4}{ia}\oint_{\gamma}\frac{dz}{z^2-\frac{2}{a}z+1}=\frac{4}{ia}\oint_{\gamma}f(z)dz$$
dove $f(z):=\frac{1}{z^2-\frac{2}{a}z+1}$, che è una funzione razionale senza poli sulla circonferenza unitaria parametrizzata dalla curva $\gamma$ nel piano complesso.
L'unico polo (reale) presente all'interno del disco è $z_0:=\frac{1}{a}(1-\sqrt{1-a^2})$ e dunque $Res(f(z))_{z=z_0}=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) = \frac{1}{z_0-\frac{1}{a}(1+\sqrt{1-a^2})}=-\frac{1}{\frac{2}{a}\sqrt{1-a^2}}$.
Allora si ha che $\oint_{\gamma}f(z)dz=2\pi i Res(f(z))=2\pi i(-\frac{1}{\frac{2}{a}\sqrt{1-a^2}})=-\frac{a\pi i}{\sqrt{1-a^2}}$.
Quindi$$
J=\frac{1}{2}\cdot(\frac{4}{ia}(-\frac{a\pi i}{\sqrt{1-a^2}}))=-\frac{2\pi}{\sqrt{1-a^2}}$$.
Dunque in definitiva si ha che:
$$
I=\frac{(r^2-1)\pi a}{r\sqrt{1-a^2}}
$$
Ovviamente non torna! Dovrei trovare una dipendenza da $\theta$. Dove me la sono persa?
Grazie in anticipo
