Limite di funzione

[ale_kitchen02]

Ciao a tutti, non riesco a svolgere questo limite

$lim_(x->0^+)(sqrt{x})^x$

grazie mille in anticipo!

[ingres]

Suggerimento: prova a sfruttare l'uguaglianza per t>0

$t=e^(ln(t))$

[ale_kitchen02]

Ho provato, ma comunque non riesco

[ingres]

$(sqrt(x))^x=e^(ln((sqrt(x))^x))=e^(1/2*x*ln(x))$

A questo punto se sai cosa succede per
$lim_(x to 0^+) x ln(x)$
.......

[ale_kitchen02]

Ok sono riuscito a trovare la soluzione.
Il punto era che non riuscivo a risolvere la forma di indecisione $0*\infty$ all'esponente.
Bastava applicare de l'Hospital
Grazie del tuo aiuto

[pilloeffe]

Ciao ale_kitchen02,

Va bene che sei ai tuoi primi messaggi sul forum, ma questo non è un post da scrivere in Analisi superiore...

Comunque, come ti ha scritto ingres, devi calcolare

$ \lim_{x to 0^+} 1/2 x ln(x) = 1/2 \lim_{x to 0^+} x/(1/ln(x)) $

che si risolve facilmente con la regola di de l'Hôpital e risulta $0$.
In alternativa si può porre $x := e^{- y} $, sicché $x \to 0^+ \iff y \to +\infty $ ed il limite da risolvere diventa il seguente:

$\lim_{y \to +\infty} - 1/2 y e^-y = - 1/2 \lim_{y \to +\infty} y/e^y $

Qui si può applicare nuovamente la regola di de l'Hôpital e risulta $0$, oppure ancora osservare che
per $ y>0 $ si ha:

$ e^y > 1 + y + y^2/2 > y^2/2 $

sicché $ 1/2 y/e^y < 1/2 y/(y^2/2) = 1/y \to 0 $ per $ y \to +\infty $

In conclusione in ogni modo si ha:

$\lim_{x \to 0^+} (sqrt{x})^x = \lim_{x \to 0^+} e^(1/2 x ln(x)) = 1 $