Spazi LCH e misure di Radon

[silviaaivlis]

Ciao, sto provando a risolvere questo esercizio, ma ho alcuni dubbi: il punto (b) mi sembra giusto, mi manca il punto (a).

Sia X uno spazio topologico di Hausdorff localmente compatto e sia µ: S → [0, +∞]
una misura positiva di Radon in X.
Posto $T = \bigcup{V : V \text{ è aperto e }\mu(V) = 0}$ e $\text{supp}(mu)=T^C$, provare che:

a) T è aperto e $ mu(T)=0 $
b) $ x in \text{supp}(mu) hArr int_X phi \ dmu >0 $ $ \ AA \phi in C_c(X) \ |\ {x} \ ≺ phi$.

a) T è aperto perchè è unione di insiemi aperti.

Come dimostro che ha misura nulla?
Inizialmente pensavo di usare la regolarità interna sugli aperti e quindi, essendo T aperto, di approssimare la misura di T con le misure dei compatti contenuti in T e poi per compattezza estrarre un sottoricoprimento finito di aperti. Però non credo di poterlo fare perchè non posso dire che T contenga dei compatti.

Forse potrei farlo per assurdo, quindi supporre $ mu(T)=eps>0$ e considerare $x in T$.
Se dimostrassi che $x in \text{supp}(mu)$ avrei un assurdo, ma non so come farlo.

b) $ (lArr)$
Suppongo che non valga la tesi, cioè $ EE phi in C_c(X) \ |\ {x} \ ≺ phi $ con $ int_X phi \ dmu =0$
Per continuità, poichè $ phi(x)=1$ allora esiste un aperto V di x in cui phi è non nulla, da cui $ 0=int_X phi \ dmu =0 rArr mu(V)=0 $.
Essendo V aperto, allora $ V in T $ e quindi $x in T$.
Allora $ x∉\text{supp}(mu) =T^C $, cioè non vale la tesi.

$ (rArr)$
Di nuovo, suppongo che non valga la tesi, cioè $ x∉\text{supp}(mu)=T^C $.
Allora $x in T$ e per definizione di T $ EE V \text{aperto} \ | \ x in V \ e \ mu(V)=0 $.
Essendo X LCH, ${x}$ compatto e V aperto tc ${x}subV$, posso usare il lemma di Urysohn per spazi LCH e quindi $EE phi in C_c(X) \ | \ {x} \ ≺ phi ≺ V$.
Infine $ int_X phi \ dmu = int_V phi \ dmu + int_(X\V) phi \ dmu =0 $ perchè $ mu(V)=0$ e perchè $\text{supp}(phi) sub V$. Quindi se nego l'ipotesi non vale la tesi.

[ViciousGoblin]

Penso che funzioni così: se $T$ avesse misura positiva esisterebbe un compatto $K$ contenuto in $T$ di misura positiva. Allora ...