Funzioni a variazione limitata

[Danilo_C]

Salve, non riesco a trovare la dimostrazione della proposizione al punto 2 (Immagine in allegato)
Si tratta, nelle ipotesi iniziali di un intervallo I di R, e di uno spazio normato Y. Con V(f|[a,b]) indica la variazione totale della funzione sull'intervallo dato.

Se qualcuno la conosce, gli sarei grato se la condividesse.

Inoltre, l'esercizio, tratto dal De Marco, è inserito come una digressione di carattere generale a partire dal discorso sulla rettificazione delle curve. È di particolare interesse il punto 3, che segue facilmente come corollario dal 2. Però mi piacerebbe sapere se ci sia un' altra dimsotrazione più diretta del punto 3.

[otta96]

Cosa hai provato a fare?

[Danilo_C]

Il punto è che non so come rendere infinitesima la variazione totale, quando le partizioni sono date intervalli infinitesimi.
Se ad esempio ho $a->c^(-)$, e pongo $f(c^(-))=lim_(a->c^(-))f(a)$,
assumo che $0<c-x<c-a -> |f(x)-f(c^(-))|<epsilon$.
Quindi prendo come generica partizione di $[a,c[$ la $P={a=a_0,a_1,...,a_n}$, allora:
$Sigma_1^n ||f(a_i)-f(a_(i-1))||<=Sigma_1^n ||f(a_i)-f(c^(-))||+||f(c^(-))-f(a_(i-1))||<2*n*epsilon$
A questo punto, siccome n non è fissato, credo non si possa ricavare nulla.
Mi sono trovato in una situazione simile considerando l'intervallo chiuso, contenente l'estremo c.

Un'altra strada che avevo provato ad intraprendere, senza sviluppi, era quella di dimostrare prima che:
$||f(c)-f(c^(-))||=lim_(a->c^(-))||f(c)-f(a)||=lim_(a->c^(-))V(f|[a,c])$,
sapendo già vera la prima delle due uguaglianze. La seconda ho solo ipotizzato possa essere vera, perchè mi condurrebbe facilmente al risultato, ma non sono certo che lo sia.

[otta96]

Probabilmente è per questo che ti dice di usare il punto i).