Trasformata di fourier di una funzione fratta

[Matteo.sofiaa]

Buonasera, avrei bisogno di assistenza per un esercizio riguardante il calcolo della trasformata di Fourier. Questo che allego è la correzione svolta dal professore. Sto cercando di capire i passaggi che ha fatto. Ringrazio in anticipo chi mi risponderà e mi spiegherà tutti i passaggi sarete i miei EROI.

[Mephlip]

Ciao Matteo.sofiaa, benvenuto sul forum!

Moderatore: Mephlip

Come da regolamento (che trovi qui), è richiesto di non caricare foto e scrivere il testo degli esercizi con le formule presenti nel forum. Qui puoi trovare un tutorial su come scrivere le formule; puoi modificare il messaggio con l'apposito pulsante "Modifica" presente in alto a destra sul messaggio stesso. Grazie e buona permanenza

Non possiamo spiegarti tutta la teoria della trasforma di Fourier e dei metodi di analisi complessa per il calcolo di integrali definiti; cerca di isolare di più i tuoi dubbi.

[Matteo.sofiaa]

Allora inizo col non capire come si trova la g(x) e come la sostituisce in f(x).

[Mephlip]

Definita $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ponendo $g(y)=\frac{1}{1+y^2}$ e posto $t(x)=\frac{x+1}{\sqrt{2}}$, osserva che:
$$f(x)=\frac{3}{2+(x+1)^2}=\frac{3}{2\left(1+\frac{(x+1)^2}{2}\right)}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\frac{3}{2}g(t(x))$$
Il professore ha usato sempre la stessa variabile perché si usa fare così da un certo livello in avanti, ma sottintendeva questo che ho scritto.

[pilloeffe]

Ciao Matteo.sofiaa,

Risponderò solo all'ultima parte del tuo post, al resto risponderò se dimostrerai un po' di buona volontà cominciando con l'eliminare quella brutta foto dell'OP...
Innanzitutto partirei con la definizione di trasformata di Fourier che sembri adottare (la definizione non è univoca):

$ \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{- i \xi x} \text{d}x $

Codice:

$ \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{- i \xi x} \text{d}x $


Ciò detto, la funzione finale è la seguente:

$f(x) = 3/2 g((x + 1)/\sqrt2) = 3/2 g(1/\sqrt2 x + 1/\sqrt2) = 3/2 g(ax + a) = 3/2 g(ax - (- a))$

Codice:

$f(x) = 3/2 g((x + 1)/\sqrt2) = 3/2 g(1/\sqrt2 x + 1/\sqrt2) = 3/2 g(ax + a) = 3/2 g(ax - (- a))$


con ovvia definizione di $a$. A questo punto, tenendo conto delle proprietà 102 e 104 che puoi trovare qui per la sua trasformata di Fourier si ha:

$ \hat{f}(\xi) = 3/2 e^{i a \xi} \mathcal{F}[g(ax)] = 3/2 e^{i a \xi} 1/a \hat{g}(|\xi|/a) = 3/2 \sqrt2 e^{i \xi/\sqrt2} e^{-\sqrt2 |\xi|} = 3/\sqrt2 e^{i\xi/\sqrt2 - \sqrt2 |\xi|} = $
$ = 3/\sqrt2 exp(i\xi/\sqrt2 - \sqrt2 |\xi|)$

Codice:

$ \hat{f}(\xi) = 3/2 e^{i a \xi} \mathcal{F}[g(ax)] = 3/2 e^{i a \xi} 1/a \hat{g}(|\xi|/a) = 3/2 \sqrt2 e^{i \xi/\sqrt2} e^{-\sqrt2 |\xi|} = 3/\sqrt2 e^{i\xi/\sqrt2 - \sqrt2 |\xi|} = $
$ = 3/\sqrt2 exp(i\xi/\sqrt2 - \sqrt2 |\xi|)$