f∈ L↑ p⇒ ∀ε>0 ∃ g:
|f-g |p < ε con il supporto di g appartenente a (-A,A).
[code][code][code][/code][/code][/code]
Moderatore: Mephlip
Superbgino ha scritto:Scusatemi ma sono sempre Gino1000, ma sono stato costretto a cambiare account perché Gino1000 non funziona più.
[b]Teorema 5. [/b] Per ogni funzione $f$ su $\RR $ e ogni $y \in \RR $, sia $f_y $ la traslata di $f$ definita dalla
\begin{equation*}
f_y(x) = f(x - y) \qquad (x \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Se $1 \le p < +\infty $ e se $f \in L^p $, l'applicazione
\begin{equation*}
y \rightarrow f_y
\end{equation*}
è un'applicazione uniformemente continua di $\RR $ su $L^p(\RR) $.
[b]Dimostrazione.[/b] Fissiamo un $\epsilon > 0 $. Poiché $f \in L^p $, esiste una funzione continua $g$ il cui supporto appartiene all'intervallo limitato $[- A, A] $ tale che:
\begin{equation*}
||f - g||_p < \epsilon
\end{equation*}
La continuità uniforme di $g$ mostra che esiste un $\delta \in (0, A) $ tale che $|s - t| < \delta $ implica
\begin{equation*}
|g(s) - g(t)| < (3A)^{- \frac{1}{p}} \epsilon
\end{equation*}
Se $|s - t| < \delta $, ne segue che
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x - s) - g(x - t)|^p \text{d}x < (3A)^{-1} \epsilon^p (2A + \delta) < \epsilon^p ,
\end{equation*}
cosicché $ ||g_s - g_t || < \epsilon $. Dall'invarianza per traslazione delle norme $L^p$ (relative alla misura di Lebesgue): [tex]||f||_p = ||f_s||_p [/tex], segue che:
[tex]||f_s - f_t||_p \le ||f_s - g_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||g_t - f_t||_p = ||(f - g)_s||_p + ||g_s - g_t||_p + ||(g - f)_t||_p < 3 \epsilon[/tex]
per ogni $|s - t| < \delta $. Da cui segue la tesi. [tex]\boxtimes[/tex]
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