da dissonance » 21/02/2019, 17:09
E si, sai perché non riesci ad applicare la convergenza dominata? Il dominio di integrazione si muove con \(x\) e \(r\); per prima cosa, bisogna scrivere l'integrale come un integrale su \(\mathbb R^n\), ma ci spunta una delta di Dirac:
\[
\frac{1}{|\partial B(x, r)|}\int_{\mathbb R^n} \delta(|y-x|-1)u(y)\, dV(y).\]
E quindi addio convergenza dominata. Da qua non si passa.
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Invece, dimostriamo che \((1^-)\) e \((2)\) implicano la proprietà di valor medio sulle palle solide; ovvero, che
\[
\tag{2^+} u(x)=\frac{1}{|B(x, r)|}\int_{B(x, r)} u(y)\, dy.\]
Infatti, assumendo \(x=0\) senza perdita di generalità,
\[
\frac{1}{|B(0, r)|}\int_{B(0, r)} u(y)\, dy=\frac{u(0)}{|B(0,r)|} \int_0^r |\partial B(0, \rho)|\, d\rho = u(0),\]
dove abbiamo usato \((1^-)\) nella prima identità, e \(\int_0^r |\partial B(0, \rho)|\, d\rho = |B(0, r)|\) nella seconda.
Adesso siamo sulle palle solide, e puoi applicare tutta la convergenza dominata che vuoi.