Spettro puntuale

[Spook]

Sia $H=l^2$ dotato del prodotto interno $(x,y) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k y_k$. Sia $T:H \rightarrow H$ definito come segue defined by

$$ \left( Tx \right)_k = \frac{1}{1+k^4} x_k, \quad k \in \mathbb{N}, \;\; x = (x_{k})_{k} \in H.$$

Come è possibile trovare lo spettro puntuale $\sigma_p (T)$? E' possibile provare che $0 \in \sigma (T)$.

[dissonance]

Non mi pare difficile, hai una famiglia di autovalori proprio sotto gli occhi. Per provare che \(0\in \sigma(T)\) ricordati che lo spettro è un insieme chiuso.

[Spook]

Qual'è la famiglia di autovalori? La base ortonormale per l^2? Se è così la risposta è semplicemente la base naturale? Come faccio a collegare il fatto che lo spettro è chiuso con lo zero?

[dissonance]

Come fai, devi ragionare. La definizione di autovalore la sai? Non mi pare tu l'abbia molto chiara. Valla a rivedere. Comunque, sei sulla buona strada con la tua base ortonormale.

[Mathita]

Non tocco queste cose da una vita, però ho l'impressione che l'operatore T non abbia autovalori. Usando la definizione, $\lambda$ dovrebbe dipendere da $k$, e non va bene.

[Spook]

Scusa ero stanco. Certamente gli autovalori sono $\lambda = \frac{1}{k^4 + 1}$. Poi devo capire perchè lo zero di trova nello spettro.

[Mathita]

@Spook, per come interpreto io la traccia, quello non può essere un autovalore di $T$. Da come è scritta, la traccia dà la componente k-esima di $Tx$.

[Spook]

Quindi gli autovalori non sono $\lambda_k = \frac{1}{k^4+1}$?

[dissonance]

Non capisco il problema, MathIta. Gli autovalori sono la successione \(1/(k^4+1)\) dove \(k\in\mathbb N\). Come dire, data la matrice diagonale \(\text{diag}(\lambda_k\ :\ k\in\{1,2,\ldots, n\})\), gli autovalori sono \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\). Ah forse stai protestando per l'ultimo messaggio di Spook, dove scrive \(\lambda =...\)? Si, sarebbe meno ambiguo scrivere \(\lambda_k=...\), ma insomma, sono dettagli.

[Spook]

Non capisco il problema, MathIta. Gli autovalori sono la successione \(1/(k^4+1)\) dove \(k\in\mathbb N\). Come dire, data la matrice diagonale \(\text{diag}(\lambda_k\ :\ k\in\{1,2,\ldots, n\})\), gli autovalori sono \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\). Ah forse stai protestando per l'ultimo messaggio di Spook, dove scrive \(\lambda =...\)? Si, sarebbe meno ambiguo scrivere \(\lambda_k=...\), ma insomma, sono dettagli.

Grazie. Quindi ho trovato lo spettro puntuale. Ora cerco di capire il problema dello zero? Qualche indicazione?