Sì sono d'accordo, formalmente è meglio fare uso della proprietà della delta di Dirac valida per $\epsilon > 0 $ seguente:
$\int_{t_0 - \epsilon}^{t_0 + \epsilon} f(t)\delta(t - t_0) \text{d}t = f(t_0) $
ove nel caso in esame $f(t) -= 1 $ $\AA t $ e $t_0 = 0 $
Anche se poi $\delta(0) $ assume il significato corretto nel momento in cui si integra.