Spettro di un operatore

[wnvl]

Grazie per la risposta!

[Frale]

Ciao è la prima volta che scrivo; vorrei porre una domanda:come si calcola lo spettro di un operatore compatto? Grazie mille.

[gugo82]

In genere, nei casi elementari, gli autovalori si trovano applicando la definizione, i.e. trovando le soluzioni non banali dell'equazione \(Tx=\lambda x\). In casi meno banali, essi si trovano usando caratterizzazioni variazionali (tipo inf/max, come nella teoria di Lusternik-Schnirelmann), oppure con altri metodi... Dipende un po' dalle proprietà dell'operatore che hai davanti.

Prova a postare un esempio e qualche contariello, così vediamo dove sorgono difficoltà

[Frale]

Si verifichi che l'operatore T : L2([0; 1])-> L2([0; 1]) definito da:
(Tf) =∫(x-y)f(x)dx(l'integrale è definito tra 0 e 1) è continuo, compatto e se ne calcoli lo spettro. Scusa ma non so scrivere sul sito. Ma devo calcolare la derivata prima e seconda dell'operatore? E risolvere un'equazione differenziale? Grazie veramente.

[gugo82]

Scrivere le formule è piuttosto semplice e, per imparare, basta leggersi le quattro nozioni base riportate al link nel riquadrorosa in alto.

L'operatore è \(T:L^2(0,1) \ni f \to Tf\in L^2 (0,1)\) definito ponendo:
\[
Tf(x) := \int_0^1 (y-x)\ f(y)\ \text{d} y
\]
(ho scambiato i ruoli di \(x\) ed \(y\) solo per motivi "estetici").
Cosa puoi innanzitutto dire su questo operatore? Per caso è lineare, o continuo?
Poi, come agisce l'operatore? Com'è fatto il rango¹ di \(T\)? Insomma non è che, per caso, manda ogni funzione di \(L^2\) in un sottospazio proprio di \(L^2\)?

---

Note

1. In teoria degli operatori, il termine "rango" denota l'immagine di un operatore; è una traduzione non proprio felice dell'inglese range. ↑

[Frale]

Sono riuscita a dimostrare che è limitato mediante la formula di cauchy-schwarz( che posso usare perchè siamo in L2). Si agisce proprio in questo modo...

[gugo82]

Per la limitatezza ok.

Per il resto che mi dici?
Linearità? Com'è fatto il rango?

[Frale]

L'operatore è lineare mentre per quanto riguarda l'immagine, essa è C1([0; 1]).

[gugo82]

L'immagine è mooolto più piccola di \(C^1\), anzi è mooolto più piccola anche di \(C^\infty\)...
Per vederlo devi sporcarti le manine coi conti.

Infatti, per la linearità dell'integrale, hai:
\[
\begin{split}
Tf(x) &= \int_0^1 (y-x)\ f(y)\ \text{d} y \\
&= \left( \int_0^1 y\ f(y)\ \text{d} y\right) - \left( \int_0^1 f(y)\ \text{d} y \right)\ x
\end{split}
\]
sicché \(Tf(x)\) è un polinomio al più di primo grado in \(x\), cioé del tipo \(a_0+a_1x\); e, precisamente, \(Tf\) è il polinomio con termine noto \(a_0:=\int_0^1 y\ f(y)\ \text{d} y\) e parametro direttore \(a_1=-\int_0^1 f(y)\ \text{d} y\).
Quindi l'immagine di \(T\) coincide con \(\operatorname{span} \{ 1,x\}\) (in cui \(\operatorname{span} X\) denota il sottospazio generato da \(X\)).

[Frale]

Scusami tanto ma non reisco proprio a capire come fare...