Spettro di un operatore

[gugo82]

Come fare cosa?

[Frale]

come determinare lo spettro

[gugo82]

Visto che ormai sai che l'immagine di \(T\) è \(\operatorname{span}\{1,x\}\), puoi dire due cose:

1. \(T\) è compatto (perché?)
   
   
2. ogni autofunzione \(f\) di \(T\) deve necessariamente appartenere a \(\operatorname{span}\{1,x\}\) (perché?).

Ora, sia \(f(x):=a_0+a_1\ x\) la generica funzione dell'immagine di \(T\) (con \(a_0,a_1\) non contemporaneamente nulli; perché?) e cerchiamo di determinare \(f\) in modo che essa sia un'autofunzione di \(T\).
L'equazione caratteristica \(Tf=\lambda\ f\) è soddisfatta per qualche valore di \(\lambda\) solo se:
\[ \tag{1}
\int_0^1 (y-x)\ (a_0+a_1\ y)\ \text{d} y = \lambda\ (a_0+a_1\ x)\; ;
\]
facendo esplicitamente i conti si trova:
\[
\begin{split}
\int_0^1 (y-x)\ (a_0+a_1\ y)\ \text{d} y &= a_0\ \int_0^1 (y-x)\ \text{d} y + a_1\ \int_0^1 (y-x)\ y\ \text{d} y\\
&= \left( a_0\ \int_0^1 y\ \text{d} y + a_1\ \int_0^1 y^2\ \text{d} y\right) +\left( - a_0\ \int_0^1 \text{d} y - a_1\ \int_0^1 y\ \text{d} y\right)\ x\\
&= \left( \frac{1}{2}\ a_0 + \frac{1}{3}\ a_1\right) + \left( -a_0 - \frac{1}{2}\ a_1\right)\ x
\end{split}
\]
dunque la (1) diventa:
\[ \tag{2}
\left( \frac{1}{2}\ a_0 + \frac{1}{3}\ a_1\right) + \left( -a_0 - \frac{1}{2}\ a_1\right)\ x = \lambda\ a_0 + \lambda\ a_1\ x
\]
e, vista la continuità dei due membri, essa deve valere per ogni \(x\in [0,1]\).
Il Principio di Identità dei Polinomi assicura che la (2) è vera se e solo se i coefficienti dei polinomi al primo ed al secondo membro sono ordinatamente uguali, cioé se:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}\ a_0 + \frac{1}{3}\ a_1 =\lambda\ a_0\\
-a_0 - \frac{1}{2}\ a_1 = \lambda\ a_1\; ;
\end{cases}
\]
ma ciò equivale a dire che la coppia \((a_0,a_1)\) deve essere una soluzione non banale del sistema lineare:
\[ \tag{3}
\begin{cases}
\left( \frac{1}{2} -\lambda \right)\ x + \frac{1}{3}\ y = 0\\
-x +\left(- \frac{1}{2} -\lambda\right)\ y = 0\; .
\end{cases}
\]
Il sistema (3), come ti dovrebbe essere noto da Algebra Lineare, ha soluzioni non banali se e solo se il parametro \(\lambda\) soddisfa l'equazione:
\[ \tag{4}
\det \begin{pmatrix} \frac{1}{2} -\lambda & \frac{1}{3} \\ -1 & -\frac{1}{2} -\lambda\end{pmatrix} =0
\]
cioé se e solo se \(\lambda \) è un autovalore della matrice \( \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\).

Risolta la (4) ottieni tutti gli autovalori di \(T\) e, se vuoi, puoi pure calcolarti gli autospazi.


P.S.: Ti sarebbe utile rispondere a quei tre "perché?" sparsi all'inizio del post.

[Frale]

L'operatore è compatto perchè operatore continuo di rango finito. Inoltre a e b non possono essere contemporaneamente nulli perchè il polinomio nullo non appartiene al rango. Purtroppo alla seconda domanda non riesco a rispondere. Grazie veramente tanto per questa spiegazione; sei stato molto gentile e paziente.

[gugo82]

L'operatore è compatto perchè operatore continuo di rango finito.

Certo.

Inoltre a e b non possono essere contemporaneamente nulli perchè il polinomio nullo non appartiene al rango.

Mooolto falso.
Infatti (come sai già da Algebra Lineare) la funzione nulla, che coincide col polinomio nullo e che è lo zero dello spazio vettoriale \(L^2\), deve stare necessariamente nell'immagine di qualsiasi operatore lineare.

I coefficienti non sono entrambi nulli perché altrimenti \(f\) non sarebbe un autofunzione "legittima" di \(T\). Infatti, per definizione, le autofunzioni "legittime" sono non nulle.

Purtroppo alla seconda domanda non riesco a rispondere.

Rifletti.
Se \(f\) è un'autofunzione che corrisponde ad un autovalore \(\lambda \neq 0\), allora è \(f=\frac{1}{\lambda}\ Tf\); dato che l'immagine di \(T\) è \(\operatorname{span} \{1,x\}\), si ha \(Tf\in \operatorname{span} \{1,x\}\) e, per le proprietà di sottospazio, \(f=\frac{1}{\lambda}\ Tf\in \operatorname{span} \{1,x\}\); perciò \(f\) è necessariamente nella forma \(a_0+a_1x\).

D'altro canto, questo discorso non si può fare (eventualmente) per le autofunzioni corrispondenti a \(\lambda =0\). Infatti \(f\) corrisponde a \(\lambda=0\) solo se \(f\in \ker T\)... E le funzioni di \(\ker T\) possono fare un po' ciò che vogliono.

[Frale]

Grazie mille

[gatsu]

Una domanda forse banale...ma quando si è confusi meglio chiedere e fare la figuraccia.

Sempre riguardo all'operatore

\[
Tf(x) := \int_0^1 (y-x)\ f(y)\ \text{d} y
\]

ho visto che \(T\) coincide con \(\operatorname{span} \{ 1,x\}\), ma come faccio a vedere che \(t\in ImT\) e \(1\in ImT\) ??

Grazie in anticipo

[gugo82]

Hai ragione... Questo passaggio, sebbene sia abbastanza banale, è bene spiegarlo meglio.

Fissata una funzione continua \(u\in C([0,1])\), considera le funzioni della famiglia:
\[
f(x;\lambda) := \lambda\ u(x)\; .
\]
Evidentemente ogni \(f(\cdot;\lambda)\) è continua in \([0,1]\) e si ha:
\[
Tf(x;\lambda) = \lambda\ \int_0^1 y\ u(y)\ \text{d} y - \lambda\ \left( \int_0^1 u(y)\text{d}\ y\right)\ x\; .
\]
scegliendo \(u\) in modo che \(\int_0^1 u(y)\text{d}\ y = 0\neq u_1=: \int_0^1 y\ u(y)\text{d}\ y\) (ad esempio, si può prendere \(u(x) := x-\frac{1}{2}\)), è evidente che prendendo \(\lambda =1/u_1\) si ha:
\[
Tf(x;1/u_1) = 1\; ,
\]
cosicché \(1\in \mathcal{R}(T)\); d'altra parte, prendendo \(u\) in guisa tale che \(\int_0^1 u(y)\text{d}\ y := u_0\neq 0 = \int_0^1 y\ u(y)\text{d}\ y\) (ad esempio, si può prendere \(u(x) := x^2-\frac{1}{2}\)), è chiaro che prendendo \(\lambda=-1/u_0\) si ottiene:
\[
Tf(x;-1/u_0) = x
\]
cioé \(x\in \mathcal{R}(T)\).

[gatsu]

Ah ho capito: in pratica si scelgono funzioni ad hoc per far vedere che la funzione di arrivo è combinazione lineare solo di \(1\) o di \(t\).

Comunque la funzione l'avrei potuta scegliere anche non continua perchè siamo in \(L^2(0,1)\) ...giusto ???

Grazie