Prodotto sviluppi di Laurent due funzioni e residuo

[gi88]

Buonasera a tutti . Disperazione!!!!!!
Sono davanti al prodotto $e^{-1/z}*sin(1/z)$ e per svolgere l'integrale curvilineo devo usare lo sviluppo in serie di MacLaurin di $e^z$ e di sin(z) e ovviamente modificarle per la presenza di 1/z anzichè z nelle due funzioni che sto studiando.
Una volta aver esplicitato le due sommatorie (relative allo sviluppo in serie di MacLaurin delle due funzioni) mi trovo a dover trovare il residuo della singolarità essenziale 0 e quindi mi trovo a dover determinare il coefficiente $c_-1$ della serie di Laurent. E' quì che sto andando in tilt perchè dovrei avere $c_-1$ = 1 ma non capisco affatto da dove esca fuori o meglio, come faccia a venire tale numero . Vi prego, aiutatemi!!!
Grazie immmmensamente

[Oiram92]

Aspè, fai un pò rewind senza andare in panico perchè la richiesta mi è poco chiara. Potresti iniziare postando il testo dell'esercizio così iniziamo a inquadrare il problema

[gi88]

Grazie millllllllllle ^_^
$\inte^{-1/z}*sin(1/z)dz$ , integrale curvilineo con la curva uguale al cerchio di centro 0 e raggio 1

[edoardo12345]

partiamo dalle cose base:

il coefficiente $c_{-1}$ è il coefficiente che moltiplica $1/z$ della serie

Ora espandi in serie i due fattori e ottieni il prodotto di due sommatorie, ricordo che:

$sinz=z-z^2/2+...$
$e^{-z}=1-z+z^2-...$

dunque nel tuo caso:

$sin(1/z)=1/z-(1/z)^2/2+...$
$e^{-1/z}=1-1/z+(1/z)^2/2-...$

hai infiniti x infiniti termini ma solo uno di questi ti darà il fattore voluto, ovvero il coefficiente che moltiplica il primo termine della prima serie per il primo della seconda, cioè $c_{-1}=1$ come voluto

edit: scrivo meglio l'ultima parte
hai infiniti polinomi con esponente minore o uguale a zero che moltiplicano infiniti polinomi con esponente strettamente minore di zero, dunque mentre avrai che $c_i=0$ per $i>= 0$ avrai un solo termine $c_{-1}=1$ (guarda le due serie)
invece gli altri coefficienti sono determinati da serie e oserei aggiungere che non sono banali da calcolare

[gi88]

Grazie mille però purtroppo non mi è chiara l'ultima parte uff

[edoardo12345]

$sin(1/z)\cdot e^{-1/z}=(1/z-(1/z)^2/2+...)\cdot(1-1/z+(1/z)^2/2-...)=1/z-1/z^2+1/(2z^3)+...-1/(2z^2)+...$
ovvero calcola i primi termini del prodotto, $c_{-1}$ è il coefficiente che moltiplica $z^{-1}$ della serie di Laurent di $f(z)$.
Dunque in questo caso si ha $c_{-1}=1$
Spero che tu abbia capito perchè più chiaro di così non riesco a spiegarlo

[Oiram92]

Credo che la risposta di @edoardo12345 sia già sufficientemente chiara in ogni caso vediamo di riscrivere in modo più "formale" la serie di Laurent. Dunque, scrivendo la serie di MacLaurin di :

\(\displaystyle e^{-1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!\;z^n} \)

\(\displaystyle sin\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!\;z^{2n+1}} \)

Effetuando il prodotto di Cauchy delle due serie otteniamo :

\(\displaystyle e^{-1/z} \cdot sin\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^n}{k! \;(2n-2k+1)! \;z^{2n-k+1}} \)

adesso, queste due serie possono essere viste (in campo informatico) come due cicli for nested ovvero :

Codice:

for (int n = 0; n < ... ; n++)
    for (int k = 0; k < n; k++)       


questo che significa? fissiamo il primo indice (ovvero \(\displaystyle n = 0 \)) e facciamo variare \(\displaystyle k \) da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle n \), e così via per tutti gli altri \(\displaystyle n \)...Quindi :

• per \(\displaystyle n=0 \) si ha che \(\displaystyle k \) assume solo il valore \(\displaystyle 0 \) (perchè la somma dovrebbe variare da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 0 \). In tal caso per \(\displaystyle n=0,k=0 \) si ottiene :
  
  
  \(\displaystyle \frac{1}{z} \)
  
  


• per \(\displaystyle n=1 \) si ha che \(\displaystyle k \) assume i valori \(\displaystyle 0,1 \) e si ottiene :
  
  
  \(\displaystyle - \frac{1}{6z^3} - \frac{1}{z^2} \)
  
  
  


• per \(\displaystyle n=2 \) si ha che \(\displaystyle k \) assume i valori \(\displaystyle 0,1,2 \) e si ottiene :
  
  
  \(\displaystyle \frac{1}{120z^5} - \frac{1}{6z^4} + \frac{1}{2z^3} \)
  
  
  


• e così via...

adesso, ricordando che \(\displaystyle z=0 \) è una singolarità essenziale (dalla teoria) ci aspettiamo che tale somma abbia infiniti termini con esponente negativo quindi procederà indefinitamente in modo simile a quello appena visto. Da qui ci rendiamo conto che l'unico termine con esponente negativo e grado unitario (il termine \(\displaystyle c_{-1} \) è per forza di cose quello calcolato per \(\displaystyle n=0,k=0 \) e da qui il coefficiente \(\displaystyle 1 \).

Facendo un piccolo ragionamento (con i piedi) era evidente osservando l'esponente di \(\displaystyle z \), infatti , dato che siamo alla ricerca del termine \(\displaystyle z^{-1} \) notiamo che :

\(\displaystyle \frac{1}{z^{2n-k+1}} = \frac{1}{z} \;\;\; \rightarrow \;\;\; z^{-2n+k-1} = z^{-1} \)

quindi deve essere :

\(\displaystyle -2n+k-1=-1 \;\;\;\rightarrow \;\;\; k=2n \)

ma la sommatoria di \(\displaystyle k \) varia solo da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle n \) quindi l'unico valore che soddisfa quella uguaglianza si ha per \(\displaystyle n=0,k=0 \).

[gi88]

Grazie mille ad entrambi ^_^. Solo una domanda..Svolgendo il prodotto delle due serie, mi trovo perfettamente con il significato di $c_-1$, che nel nostro caso risulta uguale a 1 per come è uscito il prodotto . Io so che una serie di Laurent è del tipo $\sum_{n=-oo}^ {+oo}$.. Nel nostro caso svolgendo un numero finito di fattori del prodotto delle due serie di MacLaurin, vediamo che a occhio compaiono solo addendi, della serie di Laurent, con n<0...dunque, come faccio ad assicurarmi ora nel mio studio ma soprattutto assicurarmi che all'esame al prof vada bene la mia conclusione sul valore di $c_-1$ basandomi sul fatto che il prodotto svolto delle due serie equivalga alla serie di Laurent di f(z)?
Grazie tantissssssssssssssssssime

[Oiram92]

Mmm..forse hai un pochino di confusione in testa (e forse ce l'ho anche io) ma non riesco a comprendere "a primo colpo" le tue domande..Per far vedere che il residuo in \(\displaystyle 0 \) (cioè il termine \(\displaystyle c_{-1} \) di cui parli) è proprio \(\displaystyle 1 \) si sono varie strade. La più "lunga" ma la più sicura è quella che abbiamo visto prima con lo sviluppo in serie di Laurent. Un'altra verifica è quella di calcolare direttamente il residuo in \(\displaystyle 0 \) sfruttando le proprietà derivanti dal teorema dei residui. Infatti, essendo \(\displaystyle z=0 \) un punto di singolarità essenziale non possiamo effettuare il calcolo diretto ma possiamo farlo in modo indiretto. Sappiamo che l'unico punto di singolarità (al finito) nel dominio di integrazione scelto (la circonferenza goniometrica) è il punto \(\displaystyle z=0 \), allora deve essere :

\(\displaystyle Res(f(z),0) + Res(f(z), \infty) = 0 \)

per calcolare il residuo all'\(\displaystyle \infty \) usiamo :

\(\displaystyle g(\omega) = f\left(\frac{1}{z}\right) = e^{-\omega} sin(\omega) \)

quindi :

\(\displaystyle Res(f(z),\infty) = Res\left(- \frac{1}{\omega^2} f(\omega), 0 \right) = \lim_{\omega \to 0} \omega \cdot \left(- \frac{1}{\omega^2} \right) f(\omega) = - \;\lim_{\omega \to 0} \frac{sin(\omega)}{\omega} e^{-\omega} = -1 \)

quindi per la precedente :

\(\displaystyle c_{-1} = Res(f(z),0) = - Res(f(z),\infty) = 1 \)

[gi88]

Sì sì, mi trovo perfettamente anche con questo metodo derivante dalla teoria dei residui.
La domanda-dubbio del mio messaggio precedente era riferita al procedimento più "breve" propostomi da edoardo12345.
Mi spiego meglio: una volta che abbiamo svolto il prodotto di un numero finito di addendi (delle due serie di MacLaurin) andiamo a vedere a cosa è uguale il coefficiente $c_-1$ ; tale coefficiente è (dalla teoria studiata) un coefficiente che fa parte della serie di Laurent di f(z).. Come facciamo ad essere certi che il prodotto delle due serie di MacLaurin che stiamo considerando dia fuori una serie di Laurent ossia una serie del tipo $\sum_{n=-oo}^{+oo}$ ? La mia conclusione, ma non so se è giusta, è che è una serie di Laurent in quanto compaiono le $z^n$ con n<0.. però non si vedono le $z^n$ con n>0 :/ .
Grazie tantisssime