Esercizio sull'antitrasformata di Laplace

[xemnas]

Salve a tutti, la prossima settimana ho l'esame di Metodi Matematici e mi stavo esercitando sulle antitrasformate di Laplace. Ho svolto un esercizio d'esame del mio prof ma, non essendoci il risultato, ho pensato di chiedere a voi per conferma.

La traccia è la seguente: Determinare l’antitrasformata di Laplace della funzione

$ X(s) = (e^s - e^(-2s)) / ( s^3 + 8) $ , con $ Re(s) > 1 $

Ho pensato di svolgere il problema nel modo seguente:

1) SINGOLARITA'
$ s^3 + 8 = 0 $
$ s^3 = -8 = 8*(-1) = 8*(e^(jpi + j2kpi)) $
$ s_0 = 2*e^(jpi/3) = 1 + jsqrt(3) $
$ s_1 = 2*e^(jpi) = -2 $
$ s_2 = 2*e^(j*5pi/3) = 1 - jsqrt(3) $

Dunque si tratta di 3 poli semplici.

Per semplificare i calcoli ho "diviso" la funzione in questo modo: $ X(s) = e^s/(s^3 + 8) - e^(-2s) / (s^3 + 8) = Y_1(s) - Y_2(s) $
Inoltre considero una "funzione ausiliaria" $ f(s) = 1/(s^3 + 8) $ in quanto, alla fine, le antitrasformate di $ Y_1(s) $ e $ Y_2(s) $ verranno "traslate" rispettivamente di 1 e -2 a causa dei termini $ e^s $ e $ e^(-2s) $ (mi dispiace per la spiegazione confusa ma non so come spiegarlo meglio ).

2) RESIDUI (alcuni passaggi sono sottintesi per brevità)

$ Res(f*e^(st), 1 + jsqrt(3)) = lim_(s -> 1 + jsqrt(3)) e^(st) / ( (s+2)(s-(1-jsqrt(3))) ) = $ $ e^((1+jsqrt3)t) / ( (3 + jsqrt3)*j2sqrt3 ) = e^((1+jsqrt3)t) / ( 2sqrt3*(j3 - sqrt3) ) = $ $ -( sqrt3*e^((1+jsqrt3)t) ) / 72(sqrt3 + j3) $

$ Res(f*e^(st), -2) = lim_(s -> -2) e^(st) / ((s-(1+jsqrt(3))(s-(1-jsqrt(3))) ) $ $ = e^(-2t)/( ( -3 - jsqrt3 )(-3 + jsqrt3) ) $
$ = e^(-2t)/12 $

$ Res(f*e^(st), 1 - jsqrt(3)) = lim_(s -> 1 - jsqrt(3)) e^(st) / ( (s+2)(s-(1+jsqrt(3))) ) = e^((1-jsqrt3)t) / ( (3 - jsqrt3)*(-j2sqrt3) ) = e^((1-jsqrt3)t) / ( -2sqrt3*(j3 + sqrt3) ) = -( sqrt3*e^((1 - jsqrt3)t) )/72(sqrt3 - j3) $

3) ANTITRASFORMATA PT.1
Calcolo prima la somma dei residui, poi l'antitrasformata vera e propria.

$ y_1(t)' = Res(f*e^(st), 1 + jsqrt(3))+ Res(f*e^(st), -2) + Res(f*e^(st), 1 - jsqrt(3)) = - ( sqrt3*e^((1+jsqrt3)t) ) / 72(sqrt3 + j3) + e^(-2t)/12 - ( sqrt3*e^((1 - jsqrt3)t) )/72(sqrt3 - j3) = -sqrt3e^t/72( e^(jsqrt3t)(sqrt3 + j3) + e^(-jsqrt3t)(sqrt3 - j3) ) + e^(-2t)/12 = $
$ -sqrt3e^t/72( sqrt3e^(jsqrt3t) +j3e^(jsqrt3t) + sqrt3e^(-jsqrt3t) - j3e^(-jsqrt3t) ) + e^(-2t)/12 = $
$ -sqrt3e^t/36( sqrt3( e^(jsqrt3t) + e^(-sqrt3t) )/2 + j3(e^(jsqrt3t) - e^(-jsqrt3t) )/2 + e^(-2t)/12 ) = $
$ -sqrt3e^t/36( sqrt3* cos(sqrt3t) - 3*sin(sqrt3t) ) + e^(-2t)/12 = $
$ -e^t/36( 3cos(sqrt3t) - 3sqrt3sin(sqrt3t) ) + e^(-2t)/12 = $
$ -e^t/12( cos(sqrt3t) - sqrt3sin(sqrt3t) ) + e^(-2t)/12 = $
$ -e^(-2t)/12( e^(3t) cos(sqrt3t) - sqrt3e^(3t)sin(sqrt3t) - 1 ) $

Penso che il risultato sia giusto in quanto mi trovo anche Wolfram Alpha.

4) ANTITRASFORMATA PT.2
Scusate se scrivo male il simbolo della trasformata ma non sono riuscito a trovarlo.

$ y_1(t)' = [ -e^(-2t)/12( e^(3t) cos(sqrt3t) - sqrt3e^(3t)sin(sqrt3t) - 1 ) ]*u(t) $
$ y_1(t) = L^(-1)(Y_1(s)) = y_1(t+1)'$
$ y_1(t) = [ -e^(-2(t+1))/12( e^(3(t+1)) cos(sqrt3(t+1)) - sqrt3e^(3(t+1))sin(sqrt3(t+1)) - 1 ) ]*u(t+1)$

In modo simile arrivo al seguente risultato:
$ y_2(t)' = Res(f*e^(st), 1 + jsqrt(3))+ Res(f*e^(st), -2) + Res(f*e^(st), 1 - jsqrt(3)) = [ -e^(-2t)/12( e^(3t) cos(sqrt3t) - sqrt3e^(3t)sin(sqrt3t) - 1 ) ]*u(t) $
$ y_2(t) = L^(-1)(Y_2(s)) = y_2(t-2)'$
$ y_2(t) = [ -e^(-2(t-2))/12( e^(3(t-2)) cos(sqrt3(t-2)) - sqrt3e^(3(t-2))sin(sqrt3(t-2)) - 1 ) ]*u(t-2) $

Ecco dunque il risultato finale: $ x(t) = L^(-1)(X(s)) = y_1(t) - y_2(t) $

Secondo voi il procedimento da me svolto per la risoluzione del problema è corretto?
Il risultato da me trovato è giusto oppure no?

[Oiram92]

scusami ma ho saltato praticamente tutti gli step del procedimento con i residui..te lo svolgo usando unicamente le proprietà della trasformata/antitrasformata perchè credo che sia moooolto più semplice dunque:

Innazitutto osserviamo che :

\(\displaystyle \frac{1}{s^3+8} = \frac{1}{(s+2)(s^2-2s+4)} = \frac{1}{12}\; \frac{1}{s+2} - \frac{1}{12}\;\frac{s-4}{s^2-2s+4} = \frac{1}{12}\; \frac{1}{s+2} - \frac{1}{12}\;\frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3} \)

quindi :

\(\displaystyle X(s) = \frac{e^2-e^{-2s}}{s^3+8} = e^2\; \frac{1}{s^3+8} - e^{-2s} \; \frac{1}{s^3+8} \)

\(\displaystyle = e^2 \;\left(\frac{1}{12}\;\frac{1}{s+2} - \frac{1}{12}\;\frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right) - e^{-2s} \; \left(\frac{1}{12}\;\frac{1}{s+2} - \frac{1}{12}\;\frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right) \)

Risolviamo la prima parte, quindi :

\(\displaystyle X_1(s) = \frac{e^2}{12} \left(\frac{1}{s+2} - \frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right) \)

\(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}(X_1(s))(t) = \frac{e^2}{12} \left[ \mathcal{L}^{-1} \left(\frac{1}{s+2}\right)(t) - \mathcal{L}^{-1} \left(\frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right)(t) \right] \)

la prima parte è immediata mentre per la seconda usiamo la proprietà di traslazione in frequenza quindi :

\(\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left(\frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right)(t) = e^t \; \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s-3}{s^2+3}\right)(t) = e^t \;\left(cos(\sqrt{3}t) - \frac{3}{\sqrt{3}}\;sin(\sqrt{3}t) \right) \)

quindi, in definitiva :

\(\displaystyle x_1(t) = \frac{e^2}{12} \left[e^{-2t} - e^t \;\left(cos(\sqrt{3}t) - \frac{3}{\sqrt{3}}\;sin(\sqrt{3}t) \right) \right] \)

Per quanto riguarda la seconda parte, ovvero :

\(\displaystyle X_2(s) = \frac{e^{-2s}}{12} \; \left(\frac{1}{s+2} - \frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right) \)

abbiamo che :

\(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}(X_2(s))(t) = \frac{1}{12} \left[ \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s+2}\right)(t-2) - \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right)(t-2) \right]\;u(t-2) \)

anche stavolta il primo è immediato e per il secondo usiamo la proprietà di traslazione in frequenza quindi :

\(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right)(t-2) = \left[ e^{t} \; \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s-3}{s^3+3}\right) \right](t-2) \)

questa antitrasformata l'abbiamo calcolata prima e sostituendo \(\displaystyle t \) con \(\displaystyle t-2 \) si ha :

\(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{(s-1)-3}{(s-1)^2+3}\right)(t-2) = e^{t-2} \;\left(cos(\sqrt{3}(t-2)) - \frac{3}{\sqrt{3}}\;sin(\sqrt{3}(t-2)) \right) \)

e in definitiva :

\(\displaystyle x_2(t) = \frac{1}{12} \left[ e^{-2(t-2)} - e^{t-2} \;\left(cos(\sqrt{3}(t-2)) - \frac{3}{\sqrt{3}}\;sin(\sqrt{3}(t-2)) \right) \right] \;u(t-2) \)

quindi l'antitrasformata finale è :

\(\displaystyle x(t) = \frac{e^2}{12} \left[e^{-2t} - e^t \;\left(cos(\sqrt{3}t) - \frac{3}{\sqrt{3}}\;sin(\sqrt{3}t) \right) \right] - \frac{1}{12} \left[ e^{-2(t-2)} - e^{t-2} \;\left(cos(\sqrt{3}(t-2)) - \frac{3}{\sqrt{3}}\;sin(\sqrt{3}(t-2)) \right) \right] \;u(t-2) \)

spero di non aver sbagliato qualche conto (magari ricontrolla meglio) ma ad occhio mi sembra che la tua soluzione sia diversa.

PS: perchè dici che \(\displaystyle e^2 \) ti fa traslare di 1? è solo un numero espresso in forma diversa da solito quindi lo porti "fuori" dall'antitrasformata

[xemnas]

Ciao Oiram, ti ringrazio per la risposta.

scusami ma ho saltato praticamente tutti gli step del procedimento con i residui..te lo svolgo usando unicamente le proprietà della trasformata/antitrasformata perchè credo che sia moooolto più semplice

Effettivamente hai ragione, il metodo da te usato (se non mi sbaglio quello della scomposizione in fratti semplici) è più semplici del casino che ho fatto io

:shock: PS: perchè dici che e2 ti fa traslare di 1? è solo un numero espresso in forma diversa da solito quindi lo porti "fuori" dall'antitrasformata

Ahahah chiedo scusa, è stato un errore di scrittura. Ho scritto $ e^2 $ invece di $ e^s $ e non me ne sono accorto. Comunque ho corretto il messaggio principale.

Se invece avessi davanti una roba del genere

$ X(s) = e^(-2s)/(s^3 + j2) $

Dovrei svolgerlo in modo simile al precedente? O è meglio procedere in modo diverso?

[Oiram92]

Ho scritto $ e^2 $ invece di $ e^s $ e non me ne sono accorto.

ah ok allora occhio che lo sviluppo che ho scritto prima è corretto ma va traslato di \(\displaystyle 1 \) (come avevi detto prima). Per ottenere la soluzione corretta è sufficiente considerare \(\displaystyle x_1(t) = x_1(t-1) \;u(t-1) \)

Se invece avessi davanti una roba del genere

$ X(s) = e^(-2s)/(s^3 + j2) $

Dovrei svolgerlo in modo simile al precedente? O è meglio procedere in modo diverso?

Al momento sono da smartphone e non ho la possibilità di svolgerlo però credo che (quando possibile) la strada più semplice è sempre quella di usare le proprietà piuttosto che complicarsi in quel modo con i residui. In questo caso le soluzioni al denominatore sono tutte complesse quindi la vedo un pò più dura andare a ricavarlo in quel modo, forse è più semplice applicando la definizione di antitrasformata e quindi andarsi a calcolare l'integrale.

[xemnas]

Ho capito, alloro provo e vediamo che succede . Se posso, voglio chiederti un'ultima cosa.

Nell'esercizio di prima c'era la dicitura $ Re(s) > 1 $ . Da come ho capito, questo semipiano è la regione di convergenza per l'integrale in quanto tutte le singolarità si trovano a sinistra dell'ascissa di convergenza ( che in questo caso è il valore 1 ).

Mi chiedevo, a livelli di conti in un esercizio, cosa cambia effettivamente: cioè. questa condizione mi porta poi ad un procedimento diverso da quello che mi hai illustrato sopra?

[Oiram92]

Mi chiedevo, a livelli di conti in un esercizio, cosa cambia effettivamente: cioè. questa condizione mi porta poi ad un procedimento diverso da quello che mi hai illustrato sopra?

no la trasformata/antitrasformata è unica quindi il risultato è sempre quello. Ciò che cambia è in base al metodo risolutivo. Infatti se avessi usato la definizione (integrale) dell'antitrasformata saresti arrivato ad un punto in cui avresti dovuto valutare il carattere di un esponenziale, cioè vedere se e per quali valori l'integrale ha senso (se l'esponenziale diverge allora anche l'integrale divergerà ed in tal caso non ha senso). Adesso considerando in generale :

\(\displaystyle e^{-s} = e^{-(a+i\;b)} = e^{-a} \; e^{-ib} \)

il secondo termine esponenziale (per la relazione di Eulero) è una combinazione lineare di seni e coseni quindi di per sè, al variare dell'argomento, sono termini oscillanti. Quello che ci importa realmente è il termine \(\displaystyle e^{-a} \) che ci va a modulare la combinazione lineare di seni e coseni (viene detto appunto modulazione sinusoidale). Infatti, in tal caso se l'esponenziale diverge avremo una funzione con modulo \(\displaystyle \to \infty \) e di carattere oscillante, quindi l'integrale perde di significato/non esiste. Se invece l'esponenziale tende \(\displaystyle \to 0 \) la modulazione dei seni e coseni è del tipo \(\displaystyle 0\cdot [-1,1] = 0\) e questo ha senso. Ma l'esponenziale quand'è che tende a \(\displaystyle 0 \)? Quando \(\displaystyle a>0 \) ma \(\displaystyle a \) chi è? E' la parte reale di \(\displaystyle s \) quindi il fatto che sia \(\displaystyle Re(s)>0 \) ci assicura il fatto che (in questo caso) l'integrale ha un senso.

Per quanto riguarda l'esercizio, l'hai trovato in qualche libro o in qualche esame del tuo prof o te lo sei inventato tu? Il fatto che al denominatore non ci siano soluzioni reali complica un bel pò la risoluzione

[xemnas]

Grazie di nuovo Oiram per la pazienza ed il tempo dedicatomi. La spiegazione l'ho capita in pieno, anzi mi sono reso conto di saperla già sta cosa perchè l'avevo vista quando ho iniziato a studiare l'argomento.

Per quanto riguarda l'esercizio, purtroppo sembra sia una traccia tipica d'esame del mio prof in quanto una buona parte di quelle che ho visto sono simili a questa e mi servirebbe aiuto per sapere come affrontarle. Dici che è difficile?

Per farti un esempio, un'altra traccia sulle antitrasformate è la seguente:

$ X(s) = (se^s)/( (s^2 + j4)(s^2 + s + 1) ) $

[Oiram92]

Ci ho pensato un pò ma non vedo altra strada se non usare il metodo dei residui che hai mostrato al primo post (e che sinceramente non conoscevo, infatti ti ringrazio a riguardo). Per sintetizzare mi sono fatto l'idea che se al denominatore i poli sono tutti complessi allora il metodo migliore è quello dei residui (direi l'unico metodo possibile senza sbattersi troppo), se invece al denominatore possiamo scomporre in modo tale che figuri almeno un polo reale allora la strada più veloce è decisamente quella della decomposizione in fratti semplici e in seguito l'utilizzo delle proprietà di trasformazione/antitrasformazione.

Quindi gli ultimi due esercizi che hai proposto andrebbero (secondo me) risolti con il calcolo dei residui. Sono un bel pò di conti per sarebbe peggio (a mio parere) decomporre in fratti semplici

[xemnas]

Ci ho pensato un pò ma non vedo altra strada se non usare il metodo dei residui che hai mostrato al primo post (e che sinceramente non conoscevo, infatti ti ringrazio a riguardo).

prego xd E' il minimo visto l'aiuto che mi hai dato.

Comunque ho provato a svolgere l'esercizio $ X(s) = (e^(-2s)/(s^3 + 2)) $ col metodo dei residui e l'esito non è stato dei migliori...
Ti riporto qui lo svolgimento (i calcoli sono un bel po' lunghi) così puoi darmi un tuo parere (lo so che ti sto chiedendo un po' troppo ma mi daresti davvero una grande mano).

Le soluzioni all' equazione $ s^3 + 2i = 0 $ sono le seguenti:
$ s_0 = root(3)(2) j $
$ s_1 = - root(3)(2) ( sqrt3/2 + j/2 ) $
$ s_2 = root(3)(2) ( sqrt3/2 - j/2 ) $

A questo punto mi calcolo i vari residui (ora viene il bello).
$ Res(f*e^(st), root(3)(2) j) = lim_(s -> root(3)(2) j) (e^(st))/( ( s + root(3)(2) ( sqrt3/2 + j/2 ))(s - root(3)(2) ( sqrt3/2 - j/2 ) ) ) = -(e^(j root(3)(2)t))/(3 root(3)(4)) $

$ Res(f*e^(st), - root(3)(2) ( sqrt3/2 + j/2 )) = lim_(s -> - root(3)(2) ( sqrt3/2 + j/2 ) ) (e^(st))/ ( ( s - root(3)(2) j )(s - root(3)(2) ( sqrt3/2 - j/2 ) ) ) = ( e^(-root(3)(2)(sqrt3/2 + j/2)t) )/( root(3)(4)*sqrt3(sqrt3/2 + j3/2) ) $

$ Res(f*e^(st), root(3)(2) ( sqrt3/2 - j/2 )) = lim_(s -> root(3)(2) ( sqrt3/2 - j/2 ) ) (e^(st))/ ( ( s - root(3)(2) j )(s + root(3)(2) ( sqrt3/2 + j/2 ) ) ) = ( e^(root(3)(2)(sqrt3/2 - j/2)t) )/( root(3)(4)*sqrt3(sqrt3/2 - j3/2) ) $

Riscrivendo le soluzioni in modo leggermente diverso(razionalizzando ecc...) ottengo questo "risultato" (che poi andrebbe traslato di -2)

$ x(t) = - ( e^(jroot(3)(2)t) + e^( -root(3)(2)(sqrt3/2 + j/2)t ) - jsqrt3e^( -root(3)(2)(sqrt3/2 + j/2)t ) + e^(root(3)(2)(sqrt3/2 - j/2)t) + jsqrt3e^( root(3)(2)(sqrt3/2 - j/2)t ) )/ ( 3root(3)(4) ) $

A questo punto ho pensato che servisse mettere in evidenza qualcosa per poter poi utilizzare le formule che esprimono seno e coseno tramite $ e^(jt) $ ma non riesco a farcele comparire in nessun modo.

Alla fine, per la disperazione, ho provato a risolvere l'esercizio con Wolfram Alpha e il risultato fornito dal sito è questo:


Non so più che pensare, forse la traccia è sbagliata ma non credo...

PS = secondo te è considerabile un errore lasciare il risultato così? Cioè con i valori complessi (perchè so che $ x(t) $ dovrebbe contenere solo valori reali)

[Oiram92]

Tranquillo! Anche io sto studiando per l'esame di metodi matematici quindi lo prendo come ripasso (e anche per scoprire metodi nuovi come in questo caso)

Ho controllato lo svolgimento ed il calcolo dei residui va benissimo però poi ti sei incasinato un pò nel semplificare alla fine. Ricapitolando :

\(\displaystyle res_1 = \frac{e^{i\;\sqrt[3]{2}\;t}}{3\;\sqrt[3]{4}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; res_2 = \frac{e^{-\sqrt[3]{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)t}}{\sqrt[3]{4}\;\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\;\frac{3}{2}\right)} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; res_3= \frac{ e^{\sqrt[3]{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)t}}{\sqrt[3]{4}\;\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\;\frac{3}{2}\right)}\)

Potremmo anche non farlo perchè ormai la soluzione è completa però sistemiamo lo stesso la forma (metto un asterisco per indicare che è opzionale).

\(\displaystyle (*) \)

\(\displaystyle res_2 = \frac{e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} \; e^{-i \;\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\;t} }{\frac{1}{2} \;3\;\sqrt[3]{4} (1 + i\; \sqrt{3})} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; res_3 = \frac{e^{\frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} \; e^{-i \;\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\;t} }{\frac{1}{2} \;3\;\sqrt[3]{4} (1 - i\; \sqrt{3})}\)

quindi :

\(\displaystyle res_2+res_3 = \frac{e^{-i \;\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\;t}}{ \frac{1}{2} \;3\;\sqrt[3]{4} } \; \left( \frac{e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t}}{1 + i\; \sqrt{3}} + \frac{e^{ \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t}}{1 - i\; \sqrt{3}} \right) \)

\(\displaystyle = \frac{e^{-i \;\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\;t} } { \frac{1}{2} \;3\;\sqrt[3]{4} } \; \frac{(1-i\;\sqrt{3})\; e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} + (1+i\;\sqrt{3})\;e^{ \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t}}{4} \)

\(\displaystyle = \frac{e^{-i \;\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\;t} } { 6\;\sqrt[3]{4} } \left[ \left(e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} + e^{\frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} \right) - i\;\sqrt{3} \left(e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} - e^{ \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} \right) \right] \)

infine :

\(\displaystyle res_1+res_2+res_3 = \frac{1}{3\;\sqrt[3]{4}} \left\{e^{i\;\sqrt[3]{2} \;t} + \frac{e^{-i \;\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\;t} } {2} \left[ \left(e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} + e^{\frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} \right) - i\;\sqrt{3} \left(e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} - e^{ \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;t} \right) \right] \right\} \)

ricordando che dobbiamo traslare di \(\displaystyle -2 \) sostituiamo semplicemente \(\displaystyle t \to t-2 \) e aggiungiamo il gradino centrato in \(\displaystyle 2 \), quindi l'antitrasformata cercata è :

\(\displaystyle x(t) = \frac{1}{3\;\sqrt[3]{4}} \left\{e^{i\;\sqrt[3]{2} \;(t-2)} + \frac{e^{-i \;\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\;(t-2)} } {2} \left[ \left(e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;(t-2)} + e^{\frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;(t-2)} \right) - i\;\sqrt{3} \left(e^{- \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;(t-2)} - e^{ \frac{\sqrt[3]{2}\;\sqrt{3}}{2}\;(t-2)} \right) \right] \right\}\;u(t-2) \)

e verificando con Mathematica è tutto ok un consiglio spassionato, per esercizi del genere lascia stare la forma. Dopo aver calcolato i residui fai la loro somma (senza fare m.c.m. o semplificazioni varie), sostituisci \(\displaystyle t \) con la traslazione che serve, aggiungi il gradino e stop. Si vede che questo tipo di esercizi non è "didattico" (cioè da risolvere con le conoscenze sulle trasformate, proprietà ecc..) ma vuole solo il calcolo in "forza bruta" e quindi brutalmente dagli la soluzione senza perdere troppo tempo in passaggi che curano la forma quando lo scopo dell'esercizio è solo la sostanza.