Ciao a tutti,
sto studiando gli operatori compatti e ho provato a svolgere il seguente esercizio: Sia $H=l^2(mathbb(N))$. Studiare la compattezza dell'operatore A cosi' definito
$ (Au)_k= sum_(h\in mathbb(N)) e^(-abs(k-h)) u_h $
A me l'operatore sembra non compatto, percio' ho provato a procedere nel seguente modo: suppongo per assurdo che A sia compatto. Allora vale il teorema " Se A e' compatto, allora A trasforma successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti" e vedo se l'operatore A verifica questa implicazione.
Prendo come successione debolmente convergente la base canonica di $l^2(mathbb(N))$ che converge a zero debolmente e vedo che, poiche' il vettore $e_j$ ha 1 nella posizione j e zero in tutte le altre,
$ (Ae_j)_k=e^-abs(k-j) $
e di conseguenza
$ || Ae_j|| ^2= sum_(k\in mathbb(N)) e^(-2abs(k-j)) $
A questo punto mi blocco perche' non riesco a far vedere che per $ j->+oo $ la norma non converge a zero. In qualsiasi modo io pensi di fare una stima ho comunque somme che vanno a zero
Mi aiutate? Grazie mille