Buonasera a tutti.
Sto cercando di calcolare l'integrale
$ int_(-oo)^(+oo) (x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx $
ma, dopo aver ripetuto i calcoli piu' volte, giungo sempre alla stessa conclusione, che so essere errata.
Vi chiedo quindi gentilmente conferma della correttezza del mio procedimento.
La funzione integranda ha 4 poli semplici (2 nel semipiano superiore e 2 in quello inferiore); nessuno dei poli e' zero del numeratore.
Integro quindi la funzione complessificata lungo il circuito semicircolare(composto dalla semicirconferenza di raggio R giacente nel piano superiore e dalla porzione di asse reale compresa tra -R ed R) contenente i poli del semipiano superiore:
poiche'
$ lim_(abs(z) -> +oo) f(z)=0 $
allora l'integrale lungo la semicirconferenza e' nullo, e pertanto
$lim_(R->+oo) int_(Gamma _R) (z+4)/((z^2+2z+2)(z^2+9)) dz = lim_(R->+oo)int_(-R)^(R)(x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx $
e
$lim_(R->+oo)int_(-R)^(R)(x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx = P.V.int_(-oo)^(+oo) (x+4)/((x^2+2x+2)(x^2+9)) dx $
con ovviamente
$2iPi{sum(Res(f(z),z_(j^+)))} =int_(Gamma _R) (z+4)/((z^2+2z+2)(z^2+9)) dz $
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo per i vostri eventuali suggerimenti.
G