$ sup $ Salve a tutti. Ho il seguente esercizio: si consideri l'operatore lineare: $V : f(x) -> V(x)*f(x)$ dove
\[ V(x) = \begin{cases} x , & x \in [0,1/2] \\ 1-x ,& x \in [1/2,1] \end{cases} \]
nello spazio di Banach $L([0;1])$.
Si dimostri che:
a)$V(x)$ è limitato
b)si calcoli la norma di $V(x)$
Per dimostrare che $V$ è un operatore limitato penso si possa utilizzare il fatto che se $f=cost.=1$ allora $||V*f||_1<=||V||_2 * mis([0;1])^(1/2) <= Sup_(x in [0,1]) [||V||_2*(1-0)] = 1/4$ da cui $||V||_2=(1/4)^(1/2)=1/2$ quindi $V$ è limitato.
Nel mio libro viene utilizzata la funzione
\[ f_{\epsilon}(x)= \begin{cases} 0 , &|x-1/2| \ge \frac{\epsilon}{2} \\ \frac{1}{\epsilon^{1/2}}, & |x-1/2|< \frac{\epsilon}{2} \end{cases} \] cosicché l'integrale diviene \[ \|V f_{\epsilon} \|=\frac{1}{\epsilon} \int_{(1-\epsilon)/2}^{1/2} x^2dx+ \frac{1}{\epsilon} \int_{(1-\epsilon)/2}^{1/2}(1-x)^2dx \] e poi fa tendere il limite di epsilon a zero. Potreste spiegarmi il motivo per cui sceglie il dominio d'integrazione ed $f_(epsi)$ in questo modo ? Come è riuscito a capire che una funzione così definita restituisce la norma dell'operatore? Spero che qualcuno mi possa fornire dei chiarimenti.
Grazie in anticipo