Soluzione dell'equazione del calore con condizioni al contorno di Neumann

[gorgeous.george]

Ciao a tutti.

Sto studiando (per un corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria) l'applicazione delle serie di Fourier alla soluzione dell'equazione del calore ($u_t(x,t)=u_(x x)(x,t)$);
a lezione abbiamo visto come risolvere l'equazione nel caso di c.c. di Dirichlet omogenee($u(0,t)=0=u(pi,t)$), mentre in un esercizio ci viene chiesto di risolverla in c.c. di Neumann omogenee ($u_x(0,t)=0=u_x(pi,t)$), con profilo iniziale della temperatura $u(x,0)=varphi(x)$, con $varphi in L^2(0,pi)$
Nell'esercizio, viene suggerito di procedere risolvendo prima il problema di autovalori
$ { ( -u''= lambdau ),( u'(0)=0=u'(pi) ):} $
e poi estendendo $varphi(x)$ per parita' a $[-pi,pi]$ .
Non mi e' chiaro come si ottenga il problema agli autovalori dato nel suggerimento, ne come procedere una volta risoltolo; ma gia' capire come lo si ottenga potrebbe chiarirmi le idee.
Se non avessi fornito sufficienti dati per chiarire il mio problema, vi prego di farmelo notare.
Grazie in anticipo per ogni suggerimento!

G

[gugo82]

Problemi di autovalori simili si ottengono, di solito, per separazione delle variabili.

In generale, il procedimento è lo stesso di quello usato per le condizioni di Dirichlet.

[gorgeous.george]

Grazie, poche parole ma chiare stavo infatti dimenticando come si arrivasse a dire quale sia la forma della soluzione che stiamo cercando; a buon rendere.

G