Salve ragazzi,
vi sottopongo questo integrale. Ho svolto tutti i calcoli e un calcolo non risulta uguale alla soluzione. Vorrei capire dove sbaglio.
Si calcoli l'integrale di $(z^2+1)/(z(z-8))$ lungo $\gamma$ = circonferenza di centro $(3,0)$ e raggio $6$ .
Vi spiego il mio procedimento.
Calcolo le singolarità : $0$ e $8$. Entrambe appartengono al dominio e sono poli di ordine $1$ .
Ora, immagino di "bucare" la parte interna del dominio.. il nuovo insieme avrà frontiera l'unione di $\gamma$ , $\gamma 0 $ e $\gamma 1$ (circonferenze attorno alla singolarità). Il nuovo insieme non avrà singolarità quindi l'integrale lungo la frontiera è $0$ per Cauchy. Per proprietà additiva l'integrale lungo $\gamma$ di $f(z)$ sarà dato dalla sommatoria dei due integrali ( su $\gamma 0$ e $\gamma 1$ ).
Applicando Cauchy su $0$ l'integrale vale $ -\pi i/4$ .. e fin qui mi trovo con la soluzione.
Applicando Cauchy su $8$ qualcosa non va con i calcoli.
Ecco il mio procedimento:
Tenendo conto che
$f(z)= (1/(2\pi i)) \int ((f(z))/(z-z0)) dz $
definisco $f(z)$ = $(z^2+1)/z$ e quindi ottengo $(z^2+1)/z 2\pi i$ = $\int ((f(z))/(z-z0)) dz $
ottenuto ciò, sostituisco $z=8$ e valuto la funzione.. ecco, qui non mi trovo con la soluzione.
Il mio calcolo è $(64+1)/8$ $2\pi i$ = $65/4 \pi i$.
Risolto questo calcolo, poi è facile fare la somma e concludere l'esercizio. Cosa c'è che non va? Grazie