Sto cercando di provare il seguente fatto.
Sia$\{u_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni, dove $u_k:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ è convessa. Si supponga che $u_k$ converga puntualmente ad una funzione $u:\ \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$. Allora $u_k$ converge uniformemente su ogni compatto di $\mathbb{R}^n$.
La mia idea è quella di usare il teorema di Ascoli-Arzelà. Però sono soltanto riuscita a provare che, per ogni $K$ compatto di , la successione $\{u_k\}_{k\in\mathbb{N}}$è equi-limitata e equi-lipschtziana, usando il fatto che una funzione convessa è continua e localmente lipschtziana.
Non so come procedere. Grazie per l'aiuto!