classificazione singolarità

[grad90]

Classificare tutte le singolarità di:

$ f(z) = (cosz*coshz)/(z^3*(z^2-pi^2/4)*(z^2+pi^2/4)) $

Come faccio a distinguere le singolarità?
Una volta trovati i valori che annullano il denominatore, come faccio a distinguere tra poli e discontinuità essenziali? Devo per forza calcolare lo sviluppo?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda i poli, invece di fare lo sviluppo, si può applicare il seguente criterio:

$[z=z_0]$ è un polo di ordine $n$ se e solo se $[lim_(z->z_0)f(z)*(z-z_0)^n=l] ^^ [l ne 0]$

Nel caso in esame, è sufficiente scomporre il denominatore per comprendere il valore di $n$ che renda il criterio applicabile:

$f(z)=(cosz*coshz)/(z^3(z+pi/2)(z-pi/2)(z+ipi/2)(z-ipi/2))$

[grad90]

Questo lo sapevo fare, il problema è che non capisco perchè nella soluzione mi dice che $ z=+-pi/2i $ sono singolarità eliminabili. Come si fa a capire che sono singolarità eliminabili e non poli semplici (come $ z=+-pi/2 $) senza avere lo sviluppo?

[anonymous_0b37e9]

$[z_0=+-i\pi/2]$ possono essere singolarità eliminabili perché sono anche radici del numeratore (non me ne ero accorto):

$[cosh(+-i\pi/2)=0]$

Per evitare lo sviluppo si può utilizzare il seguente criterio:

$[z=z_0]$ è una singolarità eliminabile se e solo se $[EE lim_(z->z_0)f(z)=l]$

Ovviamente, onde evitare circoli viziosi, si deve calcolare il limite senza gli sviluppi in serie. Poiché:

$[coshz=cos(-iz)]$

si può procedere con un limite notevole. Per esempio:

$lim_(z->i\pi/2)[(cosz*cos(-iz))/(z^3(z+pi/2)(z-pi/2)(z+ipi/2)(z-ipi/2))]=$

$=lim_(t->0)[(cos(t+i\pi/2)*cos(-it+\pi/2))/((t+i\pi/2)^3(t+i\pi/2+pi/2)(t+i\pi/2-pi/2)(t+i\pi)t)]=$

$=lim_(t->0)[(icos(t+i\pi/2))/((t+i\pi/2)^3(t+i\pi/2+pi/2)(t+i\pi/2-pi/2)(t+i\pi))*(sin(it))/(it)]=$

$=-(8(e^(-\pi/2)+e^(\pi/2)))/\pi^6i$

... e non poli semplici (come $ z=+-pi/2 $) ...

Non mi risulta che $[z_0=+-\pi/2]$ siano poli semplici. Del resto:

$[cos(+-\pi/2)=0]$

[gugo82]

Moderatore: gugo82

Qui c'è esattamente lo stesso esercizio.

Chiudo.