Premetto che questo problema è antecedente alla def. di insieme misurabile secondo Lebesgue e pertanto dovrebbe essere risolto solo utilizzando le proprietà della misura esterna e un po' di topologia.
Al più potrebbe forse essere utile il fatto che la misura (esterna) di un aperto coincide con l'estremo superiore delle misure elementari dei plurintervalli in esso contenuto e/o che la misura (esterna) di un compatto coincide con l'estremo inferiore delle misure dei plurintervalli che lo contengono.
Ecco il testo: Sia \(\displaystyle E_n \) una successione di insiemi. Si suppone che per ogni \(\displaystyle \epsilon > 0\) fissato e per ciascun indice $n$ sia possibile trovare un aperto $A_n$ e un compatto $K_n$ tali che $A_n \supset E_n \supset K_n$ e $\bar{m}(A_n - K_n)\leq \epsilon$. Provare che esistono un aperto $A$ e un chiuso $C$ tali che $A\supset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n supset C$ con $\bar{m}(A -C)\leq \epsilon$.
Ora, il problema sarebbe quasi banale se non fosse per il fatto che l'unione numerabile di compatti non è necessariamente un chiuso. Infatti, fissato $\epsilon >0$, posso scegliere le successioni di aperti e compatti in modo che $\bar{m}(A_n - K_n)\leq \epsilon/2^n$ e siccome $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n - \bigcup_{n=1}^{\infty}K_n \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n - K_n)$, per la monotonia e la subadditività della misura esterna risulta $\bar{m}(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n - \bigcup_{n=1}^{\infty}K_n) \leq \bar{m}(\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n - K_n)) \leq \sum_{n=1}^{\infty}\epsilon/2^n = \epsilon$. Si può aggirare in qualche modo il fatto che l'unione numerabile dei $K_n$ non è detto sia chiusa, trovando un chiuso che la approssimi? Oppure è meglio seguire un'altra strada?